Raumlehre. 
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Raumlehre. 
halbirt man zwei Seiten AB und CD und 
legt durch die Halbirungspunkte eine 
Ebene parallel den Grundflächen, die den 
Körper im Vieleck y schneidet, so wird 
dasselbe alle Seiten in gleichem Verhält 
nisse schneiden, und da zwei davon hal 
birt werden, so geschieht dies auch mit 
allen übrigen, so dass y der Mittelschnitt 
ist. Aus einem Punkte 0 innerhalb y 
ziehen wir nun Grade nach allen Eck 
punkten des Polyeders, so dass dasselbe 
in eine Anzahl von Pyramiden gethcilt 
wird, die je eine Seitenfläche und zwei 
davon bezüglich die beiden Grundflächen 
des Polyeders zu Grundflächen haben. 
Diese beide letzteren haben offenbar zur 
Höhe die des Polyeders, so dass, wenn h 
diese Höhe ist, man für den Inhalt der 
Summe dieser beiden Pyramiden hat: 
h G+g 
3 ‘ 2 ’ 
was der Inhalt einer Pyramide ist, die 
h zur Höhe und die arithmetische Mitte 
von G und g zur Grundfläche hat. 
Von den übrigen Pyramiden hat jede 
ein Trapez z. B. ABCD zur Grundfläche 
und das aus O auf ABCD gefällte Loth 
OM zur Höhe; der Inhalt ist also : 
QK = 
NK = OM, KL 
HL 
2 
ist; 
h • KP— OM • LH, 
und es ist der Inhalt der Pyramide, 
welche ABCD zur Grundfläche hat, somit 
¿Ä • EF- KP. 
KP aber ist gleich dem von O auf EF 
gezogenen Lothe, also EF • KP gleich 
dem doppelten Inhalte des Dreiecks OEF, 
so dass man für die Pyramide hat: 
~h- OEF. 
ö 
Es ist nun zu sehen, dass die Summe 
aller Pyramiden, welche zur Grundfläche 
eine der Seitenflächen von S haben, gleich 
dem Producte von § h in die Summe 
der Dreiecke, welche 0 zur Spitze und 
eine der Seiten von y zur Grundfläche 
haben, die Summe dieser Dreiecke ist 
aber offenbar y selbst, so dass j/ty die 
Summe dieser Pyramiden, also der Inhalt 
des ganzen Polyeders ist: 
J= — . G I h - 
•2 y. 
womit unser Satz bewiesen ist. 
£ OM - ABCD. 
Nun ist der Flächeninhalt des Trapezes 
ABCD gleich der Höhe LH desselben 
multiplicirt mit der Mittellinie EF, also 
dass man für die Pyramide hat: 
£ OM-EF-LH. 
Legt man nun durch O eine Ebene pa 
rallel mit ABCD, und zieht durch den 
Schnittpunkt K von EF und LH, und 
auf EF senkrecht KN, und KP in Ebene y 
parallel mit OM, beide bis zu der mit 
ABCD parallelen Ebene, so ist auch 
KN — OM, zieht man ferner ebenfalls auf 
EF senkrecht KQ (senkrecht auf G, g 
und y) bis zur Ebene G, so sind KQ, 
KL, KP, KN auf EF senkrecht, liegen 
also in einer Ebene, ferner 
Winkel QKP = U und LKN= R, 
woraus dann folgt: 
Winkel QKL = PKN 
und da die Winkel LQK und KNP 
rechte sind, 
Dreieck QKL uo NKP, 
also: 
QK NK 
KL~ KP 
und 
QK. KP = NK. KL, 
oder da: 
16) lieber die von krummen 
Oberflächen begrenzten Körper. 
I. Definitionen, 
Jede krumme Oberfläche, in der man 
durch jeden Punkt eine Grade ziehen 
kann, so dass alle diese Graden parallel 
sind, nennt man eine Cylinderfläche 
oder Cylindermantel. Der Körper, 
welcher von einer Cylinderfläche und 
zwei parallelen Ebenen begrenzt wird, 
heisst Cylinder. Diese beiden paral 
lelen Ebenen werden seine Grundflä 
chen genannt. Jede auf der Cylinder 
fläche befindliche Grade heisst Seite 
des Cylinders. — Da die Fläche zwi 
schen zwei einander unendlich nahen Sei 
ten des Cylinders als eben gedacht werden 
kann, ist der Cylinder als ein Prisma 
von unendlich viel Seiten aufzufassen, 
und aus diesem Grunde sind wie bei dem 
Prisma die beiden Grundflächen con- 
gruente Figuren, Eine Cylinderfläche 
kann man sich entstanden denken, indem 
eine grade Linie längs einer gegebenen 
Curve sich selbst parallel dahingeführt 
wird. — Sind die Grundflächen des Cy 
linders Kreise, so heisst derselbe Kreis- 
cylinder. Stehen die Seiten auf der 
Grundfläche senkrecht, so heisst der 
Cylinder grade. Ein grader Kreis- 
cylinder kann, wie einleuchtet, entstanden