Raumpendel. 
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Raumpendel. 
der eben berechnten Körper, dessen Grund 
fläche ABC eine Kalotte bildet, sei h 
deren Höhe so war ABD = 2nrh, also: 
S = %nr 2 h. 
Auch die Halbkugel ist ein solcher Kör 
per, wo die Höhe der zugehörigen Ka 
lotte gleich r ist, also der Inhalt der 
Halbkugel $nr 3 , und der der ganzen 
Kugel, die wir mit K bezeichnen wollen : 
K = 
Scholion. Denken wir uns um eine 
Kugel (Fig. 308) einen graden Cylinder 
beschrieben, und eine Pyramide mit glei 
cher Höhe, so ist wenn r der Radius 
der Kugel ist, 2r die Höhe dieser Kör 
per, r der Radius ihrer Grundfläche. 
Es ist also der Inhalt des Cylinders: 
2nr 3 = %nr 3 , und der des Kegels fnr 3 
daraus folgt: „dass sich Kegel, Kugel 
und Cylinder verhalten wie die Zahlen 
1, 2 und 3.“ Dieser Satz rührt schon 
von Archimedes her. 
Fig. 309. 
Aufgabe 12. „Den körperlichen In 
halt eines Kegelsegments zu finden.“ 
Auflösung. Es ist offenbar von 
dem Kugelsector einen Kegel abzuziehen, 
dessen Höhe OB — r — h (Fig. 309) ist, 
wo h die Höhe der zugehörigen Kalotte 
bedeutet. Der Radius CB der Grund 
fläche dieses Kegels ist gegeben durch 
die Gleichung: 
CB 2 = r 4 — (r - h)\ 
Es ist also wenn wir mit s das Segment 
bezeichnen: 
s = Inr'h [r> - (r - h)'l 
d. h. da 
(r - h) [r* - (r - Ä) 4 ] ~(r — h)h (2r - h) 
= h(2r 2 -3rA + A 4 ) 
ist; 
s = $7ih 2 (3r — h). 
Raumpendel. 
1) Einleitung. 
Man versteht unter Raumpendel eine 
mathematische Pendelvorrichtung, also 
einen schweren Punkt der von einen 
andern gegebenen Punkt einen constan- 
ten Abstand hat, und sich unter Einfluss 
der Schwere und einer Anfangsgeschwin 
digkeit im Uebrigen frei um denselben 
bewegen kann. Der schwere Punkt ist 
also gezwungen während der ganzen Be 
wegung auf einer Kugeloberfläche zu 
bleiben, kann aber auf derselben jede 
Stelle einnehmen, während das gewöhn 
liche Pendel in einer Ebene, also der 
schwere Punkt in einem gegebenen gröss 
ten Kreise bleibt. 
Das Problem vom Raumpendel kann 
nur sehr mangelhaft ohne Anwendung 
der elliptischen Funktionen behandelt 
werden. Es soll hier zunächst diese 
elementare Behandlung gezeigt, dann 
aber die vollständige mittels der ellip 
tischen Funktionen gegeben werden, von 
welcher Theorie dieses Problem grade 
eine der einfachsten und lehrreichsten 
Anwendungen gibt. — 
Nimmt man bei der Behandlung des 
Raumpendels auf die Drehung der Erde 
um ihre Axe Rücksicht, so hat man das 
Foucault’sche Pendel, dessen Theorie 
dann hier folgen soll. 
2) Elemenntare Behandlung 
des Raumpendels. 
Ist die Gleichung der Kugel auf wel 
cher sich der schwere Punkt bewegt: 
1) x 2 -f-y* -f- z a = a 1 , 
also der Aufhängungspunkt, Anfangs 
punkt der. Coordinaten, so sind die Be 
wegungsgleichungen : 
d'x Xx d* y Xy 
2) iü = -T' 5*5 = —a’ 
d 2 z, _ Xz 
dT 2 ~ 9 ~~i¿ , 
wo die Axe der z in der Richtung und 
im Sinne der Schwere genommen, g die 
Beschleunigung der Schwere ist. Ein 
Integral gibt leicht der Satz von den 
lebendigen Kräften. Multiplicirt man die 
3 Gleichungen 2) nämlich bezüglich mit 
dx dy dz , . 
—, ~, — addirt und mtegnrt, so 
dt dt dt 
kommt wenn s die Bogenlänge ist: