Rectification dei* Curven. 236 
Rectification der Curven. 
Die Curve c.c ist nun die Evolute der 
1 s 
Curve AB, und der Bogen der ersteren 
ist also gleich der Differenz derjenigen 
Krümmungsradien der letzteren, welche 
dem Anfangs- und Endpunkte des Evo 
lutenbogens entsprechen. Seien r und r 0 
diese Krümmungsradien, c der Evoluten 
bogen und berücksichtigen wir, dass wir 
den Krümmungsradius als positiv be 
trachten, wenn er nicht zwischen der 
Abscissenaxe und Curve fällt, so ist in 
unserem Falle a.c. = — r„, a c ~ — r, 
11 n n ’ 
also: 
a — r-r 0 , 
aber wenn ds das Bogenelement von Aß, 
und l der Winkel der Tangente mit der 
Axe der x ist, somit der der Nor 
male mit der Axe der y, so hat man: 
Winkel a c a — dl, 
n— l n — 1 n ’ 
ds _ ds 0 __ ds ds 0 
r ~dl' r ° ~df 0 ff ~dl~~df 0 ' 
Man hat aber: 
ds — Y dx 2 + dy 2 , tg / = 
also: 
wo C der Anfangswerth von — ist. 
Beispiel. Für eine Ellipse oder Hy 
perbel ist: 
~ + y T = h 
a o 
also: 
dy _ 
bx } _ dxYa'ty* -f b 2 x 2 
— , ds — j 
dx ay ay 
dy bdx(ay 2 + bx 2 ) 
dx 3 
- b 2 dx 
a'^y* ay 3 ’ 
(a 2 y 2 + b^x^Y 
a 2 b 2 
C. 
Ist die Curve eine Parabel, hat man also: 
y 2 — 2px, 
so ist: 
— d d Ä— ~ pdy 
dx y ’ dx y 2 
*=y Vp 1 + y 2 > 
also: 
-(/^+i/ 2 ) Y _ ,, 
o — — 
P 
Die Evolute der Parabel ist bekannt 
lich die Neillsche Parabel, und diese 
Rectificationsform würde mit der oben 
gegebenen übereinstimmen, wenn den 
Constanten dieselbe Gestalt gegeben 
wäre. 
Euler hat aber auch ein allgemeineres 
Verfahren angegeben, um solche Curven 
aufzufinden, deren Rectification in end 
licher Form gelingt. Sei 
i l l- p 
dx~ l ’ 
so erhält man: 
y = J"pdx — px — J xdp 
und 
S^fyi+p^dx — xYl+p* — 
Jyl+p 2 
indem man nun setzt: 
fml = "’ 
erhält man: 
i) x ~ c h 
L) x ~d P ’ 
2) y — px — q, 
3) S-xYl + p 2 -r. 
Ferner hat man: 
dr _ xp 
dp 
d( l - „ 
dp ~ ’ 
]/l+P 2 
also, indem man x eliminirt: 
pdq = dr Yl + p 2 , 
woraus sich ergibt: 
. v dr 
4) p = — 
Ydq 2 ~ dr 2 
Sind also p und r zwei beliebige Func 
tionen einer neuen Variablen u, so ist p 
mittels der Gleichung 4), x, y und s 
mittels der Gleichung 1), 2) und 3) ge 
geben. Eliminirt man u, so hat man 
die Gleichung der Curve und ihre Bo 
genlänge, ohne dass eine Integration 
nöthig ist. 
Durch die Formel: 
S 
=f dx ^ 
1 + 
ist jede Rectification auf eine Quadratur 
zurückgeführt. Denkt man sich nämlich 
eine zweite Curve, deren Gleichung: 
„ dy 2