Reihe 
261 
Reihe. 
z. B. die obigen, wenn x grösser als 1 ist, 
divergent. Wir werden jedoch gleich 
sehen, dass man diese Ausdrücke jetzt 
in einem etwas andern Sinne nimmt. 
Eine sehr wichtige Aufgabe ist es, die 
Summe einer Reihe vom ersten Gliede 
bis zu einem gewissen zu finden, also 
zu bestimmen den Ausdruck: 
s n — a o + + • • • + V—f 
Offenbar kann in dieser Reihe n jeden 
Werth haben, also auch unendlich gross 
werden. In diesem Falle ist der 
Werth einer unendlichen Reihe. Im All 
gemeinen nun wird S' veränderlich 
sein mit der Anzahl n der Glieder, je 
doch kann cs verkommen, dass dieser 
Ausdruck sich mit wachsendem n einer 
bestimmenten von n unabhängigen Grenze 
nähert, und Reihen wo dieses stattfindet, 
werden im Gegensatz zu der so eben 
gegebenen Bedeutung dieses Wortes con- 
vergent genannt, während alle anderen 
Reihen divergent heissen. 
Die Summe einer convergenten un 
endlichen Reihe: 
S = «o + a i “t" K a + K 3 + • • • 
ist also eine bestimmte von der Anzahl 
der genommenen Glieder unabhängige 
und somit endliche Grösse, und zwar die 
feste Grenze, der sich 
S n = «o + «i + • • • + % 
mit wachsendem n nähert. Divergente 
unendliche Reihen haben nur insofern 
eine Summe, als es möglich ist, die end- 
, liehe Reihe 
S n = “° + + ' 1 ' + a n 
zu summiren und dann n gleich unend 
lich zu setzen. Diese Summe wird aber 
von n abhängig bleiben und deshalb mit 
wachsendem n S entweder unendlich 
n 
gross oder schwankend werden. Sei x 
eine positive Zahl und grösser als 1, so 
wird ax n mit wachsendem n unendlich 
sein, also auch der Werth von <S . Be 
it 
trachtet man dagegen die Reihe, welche 
aus dem Bildungsgesetz « = ~ a n _{ 
entsteht. Ist z. B. « 0 = 1, so hat man: 
S n = «o + «i + • . • + 
— 1 — 1 -f-1 — 1 —1 — 1 -j - «... 
Ist hieran grade, so ist offenbar 5^=.! 
ist n ungrade 8^ = 0. Wenn n also 
auch ins Unendliche wächst, so wird die 
Reihe immer einen der Werthe 1 oder 0 
haben, jedoch ist es fraglich welcher, 
wenn man nicht die Beschaffenheit der 
Zahl n kennt. 
Die Theorie der Convergenz der Rei 
hen ist von der grössten Wichtigkeit, und 
wird in dem Folgenden näher darauf 
einzugehen sein. Hier bemerken wir nur 
Einiges über diesen Gegenstand. 
Sei: 
S n “ «o + «i + «2 + • • • % 
S(n + A) — ct 0 + «, + « 2 + . ., 
n n-\-1 n+V 
soll nun die Reihe convergircn, so muss 
S fi von n unabhängig, also = s n 
werden, woraus sich ergibt: 
tt n+i+ a n+2 + '--+%+\k = 0 - 
Damit also Convergenz stattfinde, muss 
die Summe der Glieder von a . . 
n+1 
bis zu einem beliebigen ^ (wo A 
auch unendlich sein kann) sich der Null 
nähern, wenn n wächst, und diese Be 
dingung ist offenbar nothwendig und 
ausreichend. Setzt man dagegen für A 
eine bestimmte Zahl z. B. A = 1, 2 . .., 
so erhielte man: 
und diese Bedingungen sind für die Con 
vergenz der Reihe zwar nothwendig aber 
keineswegs ausreichend, da aus ihnen 
nicht folgt, dass für jeden 
Werth von A sei. Also aus der Bedin 
gung, dass die Glieder einer Reihe sich 
mit wachsendem n einzeln der Null nä 
hern, ist keinesweges völlig zu erkennen, 
oh diese Reihe convergiré. Es kann 
nämlich die Summe von unendlich vielen 
solcher Glieder doch eine endliche von 
der Anzahl abhängige Grösse sein. Da 
gegen ist die Bedingung, dass die Summe 
a , , + ce ._+••• 
n+ t 11+2 
ins Unbegrenzte mit wachsendem n sich 
der Null nähere, völlig ausreichend für 
die Convergenz. Denn in diesem Falle 
bat man für wachsendes n: 
lim S n = cc 0 +«, + . . . +K n 
— ß o + «a •• • 5 
der nach « n folgende Thcil verschwindet 
nämlich, und: 
limS =c* 0 + (n+..« + «p 
= «o + «i + «2 • ••