Reihe. 
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Reihe. 
da auch der nach « folgende Theil ver 
schwindet. Man hat also lim S = lim S , 
n p 
d. h. die Reihe ist unabhängig von dem 
Gesetze, nach welchem die Gliederzahl 
zunimmt, und folglich convergent. 
Die Reihen sind nach der Beschaffen 
heit ihrer Glieder zunächst einzutheilen 
in solche mit reellen und complexen 
Gliedern. Da aber die letzteren in zwei 
Reihen zerfallen, von denen die erste 
ganz, die letztere bis auf einen Factor i 
reell ist, so lässt sich die Betrachtung 
derselben immer auf die der Reihen mit 
reellen Gliedern zurückführen. — Bei 
den Reihen mit reellen Gliedern ist cs 
noch wichtig, diejenigen, deren Glieder 
alle dasselbe Zeichen haben von denen 
zu unterscheiden, deren Zeichen wechselt. 
Indess ist auf diese Gegenstände später 
zurückzukommen. 
Wenden wir uns zunächst zu einigen 
elementaren Betrachtungen. 
2) Von der geometrischen Reihe. 
Die schon vorhin betrachtete Reihe; 
S ~ a + ax 4- ax 2 ax 1 1 
wird geometrische genannt. Das Gesetz 
derselben: 
t . x, 
n— 1 ’ 
n — 1 
lässt sich so in Worte fassen: 
„Der Quotient zweier aufeinander fol 
genden Glieder ist einer gegebenen 
Gröste x gleich. Dieser Ausdruck x wird 
gewöhnlich Exponent genannt, wir wollen 
ihn, um keine Verwechselung mit dem 
Fotanzexponenten' herbeizuführen als 
„Index der Reihe“ bezeichnenA 4 
Die geometrische Reihe lässt sich 
wenn n beliebig ist, leicht summiren. 
Man hat offenbar: 
S = a + x (a,+x + ax 2 + ...-(- ax 1 "). 
In der Klammer steht genau die obige 
Reihe mit Ausschluss des letzten Gliedes. 
Es ist also der Werth des Ausdruckes 
in der Klammer gleich — ax n ~~ 1 , 
also; 
S n = a+x(S n -ax n ~ i ) 
d. h.: 
S n 1 — x 
Lässt man n ins Unendliche wachsen, so 
hat man 
S=a + ax + ax 2 -f . . . . 
Es ist klar, dass diese unendliche Reihe 
bei reellem x nur convergiren kann, wenn 
x abgesehen vom Vorzeichen kleiner 
als 1 ist. .Ist x nämlich grösser als 1, 
so werden die einzelnen Glieder mit 
wachsendem n bis ins Unendliche zuneh- 
men.v Wenn x— 1 ist, gibt die Reihe: 
=1 + 1 + 1 • • • — n, 
also die Summe wird mit wachsendem n 
unendlich, während sie für x = — 1, wie 
schon oben gezeigt wurde zwischen den 
Werthen Null und Eins schwankt. 
Ist aber x kleiner als 1, so wird x n 
sich der Null, also jedenfalls der ge 
fundene Werth von S sich dem Werthe 
n 
-—— nähern: es findet immer Conver- 
1 — x 
genz statt. Dasselbe findet statt, wenn 
x imaginär, der Modul von x aber kleiner 
als Eins ist. Setzt man nämlich x—re^ 1 
so wird x 11 - r n en* 1 sich immer noch 
der Null nähern. Ebenso wird, wenn der 
Modul grösser als 1 ist, die Summe S 
unendlich gross werden. 
Ist der Modul gleich 1, also x=.e^ 1 , 
so erhält man: 
1 - e 1 ^ 1 
S = a r , 
n ,,i 
1 — e f 
ein Ausdruck, der offenbar von n ab 
hängig ist; also auch in diesem Falle 
findet Divergenz statt. Die Convergenz- 
bedingung für die geometrische Reihe ist 
in jedem Falle also die, „dass der Modul 
des Index kleiner als Eins sein muss, 
und in diesem Falle ist die Summe der 
Reihe 
S ^ 
Unter Modul einer reellen Grosse ver 
stehen wir nämlich ihren absoluten Werth. 
Gibt man dem Index x in der That 
einen complexen Werth vc^ 1 und setzt 
a = 1, so zerfällt die geometrische Reihe 
in zwei andere: 
S —T -+u i, 
n n ' n ’