Reihe. 
Reihe. 
so kann auch ß grösser als Eins derart genommen werden, dass man hat 
>.ß, 
Vf i 
also: 
ci *f ö , . 4* ö . . 
n n+1 n+' 
! + ••• > ß n (l+/ 9 + ^ i + >'-) 
und da die Summe der Reihe rechts stets unendlich gross ist, so findet dies 
auch mit der Reihe links statt; die letztere wird immer divergircn. 
Dies Criterium versagt aber seinen Dienst, wenn man hat: 
a > . 
lim -!±t = 1; 
denn die Glieder der Reihe werden sich dann zwar der Gleichheit nähern, ohne 
dass man jedoch eine geometrische Reihe im Allgemeinen angeben kann, welche 
a n+ i 
eine Grenze der gegebenen Reihe bildet. Jedoch wenn man weiss, dass 
« 
für wachsendes n immer noch grösser als Eins ist, wird die Reihe divergiren, 
denn man hat dann: 
V + V+i + V+2 + --- > %( 1 + 1 + 1 + ---)> 
und der Ausdruck rechts ist unendlich gross. 
II. Eine Reihe ist convergent, wenn der Ausdruck (a ) , wo a n das nte Glied 
der Reihe ist, sich mit wachsendem n einer Grenze nähert, die kleiner als Eins ist. 
Offenbar ist nämlich, wenn « diese Grenze ist, und ß zwischen Eins und « 
liegt, für hinreichend grosses a im ersten Falle: 
1 1 
n n-\-1 n-f2 
n r n+1 n+2 r 
« w H-«fi + l + “ n + 2+ ••• < ß n + ß U+1 +ß H+2 + 
und da die Reihe rechts sich der Null nähert, so ist dies auch mit der Reihe 
ltnks der Fall. Ist jedoch u grösser als Eins, und ß zwischen 1 und «, so hat 
man: 
1 1 
n n+1 
a > ß, a > ß ... 
n n+1 1 
(i *f a , . -f d , 
n M+l 1 M+‘ 
und beide Reihen wachsen mit n ins Unendliche. Für « gleich Eins versagt 
auch dies Criterium seinen Dienst. 
Wir wollen diese beiden Criterien auch auf Reihen anwenden, welche nach 
ganzen positiven Potenzen von x fortschreiten, also auf die Reihe: 
Es ist dann: 
n+ l 
n+ I 
und