Reihe. 
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Reihe. 
ic- . . 
. n-\-1 n 
und die Reihe convergirt oder divergirt, je nachdem x oder « x sich 
einer Grenze nähern, die kleiner oder grösser als Eins ist, d. h. je nachdem 
1 
tt n-(-1 n 1 
oder « sich einer Grenze nähern, die grösser oder kleiner als — ist. 
CC vy OC 
n 
Mit diesen beiden Criterien verbinden wir noch Folgendes: 
III, Eine Reihe a 0 + a l + a 2 + ,. . convergirt, wenn man jedes Glied a 
in 2 Factoren « n , ß zerlegen kann, derart, dass die Reihe « 0 + <G + a j+ K s + . • 
convergirt, und ß für wachsendes n nicht unendlich wird. — Denn in diesem 
Falle hat man : 
a n+i +a n+2 +• '• “ ^%+l + f w+2 + ■*•)» 
wo ß ein Mittelwerth der Grössen ß n _^_ ß n _^.o • • • u> s w. ist. Wegen der Con- 
vergenz der Reihe « 0 + + . .. ist aber 
+ .... = 0, 
also auch «„ , = 0. 
Anwendungen dieser Regel folgen später. 
*«+ 1 + “«+2 
Vj-l + Vf2 + 
4) Arithmetische Reihen und B i n omi alcoeffi ci e n t en. 
Ehe die Theorie der unendlichen Reihe weiter zu verfolgen ist, soll noch auf 
einige Reihen mit endlicher Gliederzahl etwas näher eingegangen werden. 
Unter einer arithmethischen Reihe erster Ordnung versteht man eine solche, 
worin die Differenzen zweier auf einander folgenden Glieder constant sind. Das 
allgemeine Schema einer solchen Reihe ist also, wenn a 0 die Differenz und a l 
das erste Glied ist: 
«i>«i+«o> «i+2« 0 «i + (m — 1)«o- 
Eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung ist eine solche, worin die Differenzen 
je zweier auf einander folgenden Glieder eine Reihe erster Ordnung bilden, oder 
die zweiten Differenzen (Differenzen je zweier auf einander folgenden Glieder der 
Differenzenreihe) constant sind. 
Allgemein: Eine arithmetische Reihe nter Ordnung ist eine solche, deren 
Differenzenreihe eine arithmetische Reihe n — 1 ter Ordnung oder deren n te Diffe 
renzenreihe constant ist. 
Die Differenzenreihe einer Reihe zweiter Ordnung sei die obige: 
a l: « l + a 0 , + 2a 0 + (n~l)a 0 
und ausserdem a 2 das erste Glied, so erhält man die Reihe, indem man ein Glied 
der Summe zweier, dreier Glieder u. s. w. nach und nach zu « 2 addirt, also: 
« 2 + t + 3 ct 0 , u 2 ~h t -j- 6ii 0 
Ist a 3 das erste Glied einer Reihe dritter Ordnung, so erhält man dieselbe wenn 
man die Summe der Glieder der Differenzenreihe, also einer Reihe zweiter Ord 
nung nach und nach zu a 3 addirt. 
Es handelt sich jetzt darum, das allgemeine Glied einer Reihe von beliebiger 
Ordnung und die Summe der Glieder einer solchen Reihe zu finden. 
Zu dem Ende gehen wir von gewissen speciellen Reihen aus. Es sei; 
_ n(n — 1) (n — S) ... (n — p + 1) 
n p ~ 1 • 2 • 3 p ’ 
wo p also eine ganze Zahl ist. Die Ausdrücke von dieser Form werden Binomial- 
coefficienten genannt, weil sie in der Binomialformel Vorkommen. Der Ausdruck n 
heisst der pte Binomialcoefficient. Offenbar ist auch ^ 
n p = 0,