Reihe. 
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Reihe. 
= “2 + («- l)l «t + (« - 1). «0- 
Die Summe der n ersten Glieder dieser Reihe ist: 
na 3 + (1 + 2 + 3 + ... + n — 1) a l + [1 2 -f- 2 a + ... + (>i — 1) 2 ] « 0 , 
also mit Hülfe der Formel: 
S 2 = n l a 2 -\-n 2 a l 4-»s«o- 
Indem man so fortfährt, erhält man ganz allgemein, wie leicht zu sehen: 
3) N p = a p + («-!)> t + (« - 0* «,_ 2 + • • • + (« ~ !) p «o 
4) S p = n,a p -\.n 2 a p _ { +n 3 a p _* + ... +« p+1 « 0 - 
Was die Bedeutung der Grössen 
p p— 1 ’ p — 2 0 
anbetrifft, so ist a das erste Glied der 
P 
Reihe selbst, a p _ 1 das erste Glied der 
ersten, a „ das erste Glied der zwei- 
p — 2 
ten, allgemein « s das erste Glied der 
sten Differenzenreihe. Diese Anfangs 
glieder sind also zu bestimmen, ehe 
man das allgemeine Glied und die Summe 
der vorgelegten Reihe finden kann. 
An diese Berechnungen sind jetzt 
noch einige Sätze von Reihen höherer 
Ordnung zu knüpfen. 
Satz I. Alle Binomialcoeffi- 
cienten, wo n eine ganze Zahl 
ist, sind auch ganze Zahlen. 
Es ist nämlich zunächst - 
ti 2 — 1 —2 —... —/1 — 1 
gleich einer ganzen Zahl, ferner 
M 3 — I2 +2 a + ••• + (« — 1) 2 
ebenfalls eine solche, da die Summe 
rechts aus ganzen Zahlen besteht, u. s. w. 
Satz II. Die Summe der Glie 
der mehrerer arithmetischen 
Reihen von verschiedener oder 
gleicher Ordnung bilden wieder 
eine ari thmetis che Reih e, deren 
Ordnung der höchsten Ordnung 
der Partialreihen gleich ist. 
Um dies zn beweisen, bemerken wir 
dass da die pten Differenzen einer Reihe 
p ter Ordnung constant sind, nothwendig 
die p + 1 ten Differenzen alle gleich 
Null sein müssen, und dass, wenn die 
p +1 ten Differenzen nicht, aber die 
p ten einer Reihe von Ausdrücken alle 
der Null gleich sind, man nothwendig 
eine arithmetische Reihe pter Ordnung 
haben muss. Bestehen nun die Partial 
reihen aus einer oder mehreren Reihen 
p ter Ordnung und andern von niederer 
Ordnung, so werden die Differenzenrei 
hen der durch Addition aller dieser ent 
standenen Reihen gleich der Summe der 
entsprechenden Differenzenreihen der Par 
tialreihen sein. Bei den Reihen von 
niederer Ordnung sind die pten Diffe 
renzenreihen der Null gleich, es bleiben 
also nur die von den Reihen pter Ord 
nung herrührenden constantenDifferenzen- 
reihen übrig, deren Gliedersummen wie 
der eine solche constante Reihe bilden; 
somit ist die vorgelegte Reihe p ter 
Ordnung. 
Satz III. Jede ganze Function 
pten Grades von n gibt, wenn man 
für udieZahlen 1,2,3 ... u se t zt eine 
ari thmetische Reihe p ter Ordnung. 
Denn betrachten wir zwei auf einander 
folgende Glieder der so gebildeten Reihen: 
A 0 n p + A l n p "-1-,.. + A n 
A^n-lf + A^n-lf-' +A 1 (n-2f-‘ 2 + ... + A n , 
so ist die Differenz derselben gleich; 
A 0 — (n — 1)^ + A t — 1 — (n — l) p ~ ^ + A 2 («P-* — (n — 1)P + .. • 
+ A n _ i [*-(«-1)] = ¿o (f~ ' +n P ~ 2 in -1) + nP~\n -1)» +... 
+ (m —1)P 2 +«P ^ {n — 1) -\-7l P 1 (n — l) 2 -j-. . .