Reihe. 
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Reihe. 
1) 
, i \ n « . <' 
(a -f- x) — a + n L n 
■1 . 71 — 2 -K 
x + n 2 a x‘ -f- 
4- ® 
Die Reihe bricht offenbar von selbst ab, da die Binomialcoefficientcn, n 
n +1’ 
n n+2 , .. der Null gleich werden. Auch ist leicht zu sehen, dass die Reihe der 
Coefficientcn eine symmetrische ist, insofern die Ausdrücke: 
n (n — 1) ... (n — s + 1) 
1-2 
und 71 
- n S n ~ i) • • • 0 +1) 
1*2 ... 71 — s 
einander gleich sind. 
Dieser Beweis des binomischen Satzes für ganze Potenzen lässt sich sehr 
leicht auf den binomischen Satz für Factoriellen übertragen. Unter Factorielle 
verstehen wir ein Product von Factoreu, welche eine arithmetische Reihe erster 
Ordnung bilden. Sei : 
x {x -f p) 0 + 2 />) ... {x -) - (». — 1) j>] - x 1 1P, 
Hier zeigt 71 die Anzahl der Factoreu an, wir nennen 71 analog dem Ausdrucke 
für Potenzen, Exponent der Factorielle, während p die Differenz der arithmetischen 
Reihe ist. Wir wollen jetzt den Ausdruck: 
(« + x) 11 1 P 
bestimmen. 
Sei n zunächst gleich 2, so ergibt sich: 
(a + x)^ I P =z(a + x) (« + x+p) = a{a + p) + 2« • x + x(x + p). 
Dieser Ausdruck kann auch geschrieben werden: 
(a + x) 2 \P = a 2 \P + 2a 1 \Px 1 \P + x 2 \P- 
multiplicirt man diesen Ausdruck mit (a -f- x 2p), so kann man dies in folgender 
Ordnung thun: das erste Glied wird erst mit a + 2/? und dann mit x, das zweite 
erst mit x + p, das dritte mit a und x + 2p multiplicirt, und man erhält: 
(« + a; ) 3 l> = a S \P + 3a 2 \Px 1 \P + Sa 1 \Px 2 \P + x 3 \r\ 
Durch Fortsetzung dieses Verfahrens ergibt sich allgemein: 
(a + x) n \P = a n \P + a S n) a n -'^x 1 \k + tt ( n ) a n -\Px 2 \P + . ..+x n \P. 
Durch Multiplication mit a + x + 7ip derart, dass man das erste Glied mit a + np 
und x, das zweite mit a + (n — l)p und x + p, das dritte mit a+ {71—2)p und 
x + 2p multiplicirt, lassen sich die zwei Formeln hersteilen, welche, wie bei den 
Potenzen die Relation 
0—1) («)_ O) 
a — n —« 
p p p— 1 
geben, so dass man schliesslich das Verfahren, welches so eben für Potenzen an 
gewandt worden ist, zur Bestimmung der Coefficienten wiederholen kann, so dass 
man hat: 
2) (a + x) n \P = a n ^P + n l a n ~ 1 \Px 1 ^P + n,a n ~^Px 2 \P + ...+x n \P. 
Dies ist der binomische Satz für Factorielle. Wir kehren zu den Potenzen zurück. 
Setzt man in Formel 1) noch a = 1, so ergibt sich: 
3) (1 + x) n = 1 + n t x -f- + M3X 3 4- .... 
Wir wollen diese Formel jetzt für den Fall beweisen, wo n eine gebrochene Zahl 
oder negativ ist. In beiden Fällen wird die Reihe rechts dann niemals abbrechen. 
Sie ist also eine unendliche Reihe, die wir zuvörderst in Bezug auf ihre Con- 
vergenz prüfen. 
Da aber im Allgemeinen x negativ oder imaginär sein kann, so sind zunächst 
einige Regeln über die Convergenz derjenigen Reihen aufzustellen, deren Glieder 
wechselnde Vorzeichen haben, oder imaginär sind.