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der Reihe der Moduln der einzelnen Glieder dies stattfindet. — 
Es lässt sich nämlich die Reihe immer auf die Gestalt bringen: 
v t (cos (ft + i sin 7'i) + ^ 2 (cos ff> 2 + i siny 2 ) + V 3 (cos (f s +i sin (f s ) + ..., 
welche zerfällt in die beiden 
v v COS (f L + V 2 COS (f 2 + v 3 COS 7s +• ... 
i(i/ l sin 71 4-V 2 sin y a 4- vi sin 7 3 4- ...). 
Sehen wir von dem Zeichen der einzelnen Glieder ab, d. h. denken wir uns die 
selben positiv, so ist: die Summe sowohl der ersten Reihe als die der zweiten 
durch i dividirt kleiner als > / 1 4~ r s 4" • • • und sie werden mit der letzten 
Reihe convergircn. Wie wir gesehen haben, wird aber durch die wechselnden Vor 
zeichen diese Convergenz nicht aufgehoben. 
7) Die binomische Reihe für negative Zahlen und Brüche. 
Wir untersuchen die Reihe: 
1) f^ = l + n l x-\-n i x*+n a x s + .. . 
zunächst auf ihre Convergenz. n soll eine beliebige reelle, x eine beliebige Zahl sein. 
Wir wissen von dieser Reihe zunächst nur, dass für ganzes positives n dieselbe 
endlich wird, und in diesem Falle f(?i) = (14-#) W zu setzen ist. 
Da x eine complexe Zahl sein kann, so setzen wir x~ve* l , und untersuchen 
die Reihe der Moduln, d. h. die Reihe: 
l + n v v + n 2 v* + »G J/3 +- • •> 
welche für reelles x mit der crsteren zusammenfällt. Dem ersten Kennzeichen 
des Abschnitts 3) zur Folge wird die Reihe convergircn, wenn mit wachsendem s 
ii. . . i 
$ 4- 1 
kleiner als — wird. Nun ist: 
n 
s 
V 
U S 4- 1 n (n — 1) s) n (n — 1) ... (n — S 4- 1) n — s 
n s ~ 1 • 2 ... s 4-1 ' 1 • 2 ... s ~~ s 4* 1 ’ 
ein Ausdruck, der sich mit wachsendem s der Einheit nähert. 
Es wird also die Reihe convergircn, wenn Eins kleiner als —, d. h. v kleiner 
als Eins ist, d. h.: 
„Die binomische Reihe convergirt, wenn bei reellem x der absolute Werth 
dieser Grösse, bei complexem x der Modul von x kleiner als Eins ist.“ 
Ist x reell und grösser als Eins, so wird die Reihe divergiren. Dasselbe 
findet aber auch bei imaginärem x statt, wenn der Modul grösser als Eins ist. 
Denn untersucht man die Reihen, in welche f(n) zerfällt: 
14* cos 7 4- n a v 2 cos 271 
1 +n\v sin 7 4- m¡v 2 sh* 27- 4- • • •> 
n , ( cos (s 4-1) 71 2 
so muss die erste Reihe divergiren, wenn: — — grösser als — werden 
0 n cos s v 
s f 
kann, sobald s wächst. Nrm ist: 
cos (fi — tg s ff sin 7 
cos (s 4- 1) V 
cos s 7 
und da tg«7 jede beliebige Grösse annehmen kann, so wird dieser Ausdruck 
nicht kleiner als Eins bleiben. Nehmen wir jetzt an, dass die Reihe convergiré, 
dass also der Modul von .r kleiner als Eins sei, und bestimmen die Summe der 
selben. Man hat: 
f(n) • f{p) = (14- n.x 4- n t x* 4- ..•)(! + Pi x +P* xi + •••)»