Reihe. 
Reihe. 
wird die Multiplication rechts wirklich ausgeführt, so ist der Faktor von x 1 im 
Producte offenbar: 
n -4-n ,p, 4-m n P> + • • • + V • 
in 1 m — 1 m — 2 r 2 ' m 
Nach der im Abschnitt 5) für Factoriellen eingeführten Bezeichnung kann man 
aber schreiben; 
' —l 
1-2-3...s’ 
und es ist somit der angegebene Factor: 
-l in— 1 I — I in — 2 | —i 
11 — 1+ 
1-2-3...» n 1 1 • 2- 3... m 1 ^ 1-2-3...»» 5 
»?»1 — l in— I I — l l 
+ in • n p 
i ^ m(rn — 1) m- 
2 I — l ml —1 
P 1 , , P 1 
1*2 * * * * 1 1*2*3 ' 
1-2 
, in 1 - 1 \ 
+ ... +p 1 j. 
Wendet man auf diesen Ausdruck die Formel 2) des Abschnittes 5) an, so ergibt sich 
, , .m I — 1 . 
1 • 2• 3... n ^ + 
und es ist somit: 
f(n) • f(p) = 1 + (n + p) t X + (11 + p) 2 X 2 + (n + p),, X 3 + . . . 
Die Reihe rechts mit Formel 1) dieses Abschnittes verglichen, gibt die Summe 
/■(n+p); sie wird also ebenfalls convergiren, so lange f(n) und f{p) convergiren, 
d. h. wenn x kleiner als Eins ist, und man hat, was auch n und p seien: 
2) /’(»•/‘(P) =/(« + />)■ 
Setzt man in dieser Formel p — n, so ergibt sich: 
mm = [/'(«)] ? = f(2n), 
also wenn man jetzt p = 2n setzt: 
f(n) f(2n) = [/■(«)] 3 = f{3n) 
und indem man so fortfährt: 
3) [/'(n)] s = / 1 (sn), 
wo n beliebig ist, s aber eine positive ganze Zahl sein muss. Sei somit n = -y, 
wo q und s ganze positive Zahlen sind, so hat man; 
,Die Reihe 1 stellt auch dann die nte Potenz von 1-j-a: dar, wenn n ein 
beliebiger positiver Bruch ist.“ 
Irrationalzahlen lassen sich als Grenzen der Brüche auffassen, und somit gilt 
auch für solche unsere Reihe. 
Für beliebige negative Zahlen aber beweisen wir sie, indem wir in Formel 2) 
setzen p = — n, und uns n positiv denken, es ist dann: 
mn-n) = no)-