Reihe. 
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Reihe. 
ted + ^s-i+i—t+i—. 
woraus sich auch ergibt: 
( rr 2 % 3 ^4 \ 
z +~2 +■3+"4+*• •)* 
Beide Reihen gehen keine Summe, wenn 
z grösser als 1 ist. Setzt man ¡5 = 1, 
so verlässt uns das eben angewandte 
Kennzeichen. Die erste Reihe aber gibt 
in diesem Falle: 
lg2 = l-* + i-* + .i. 
und diese Reihe muss nach dem vorigen 
Abschnitte convergiren, da die Glieder 
abnehmen und abwechselnde Vorzeichen 
haben. Dagegen wird die zweite Reihe: 
lgO=—(! + * + *+* + ...) 
nicht convergiren, obgleich die Glieder 
ins Unendliche abnehmen, es ist nämlich 
bekanntlich lg 0 = — co. 
Da die eben gegebenen Reihen nur 
convergiren, wenn z kleiner als 1 ist, 
so lassen sich mittelst der ersteren nur 
die Logarithmen der zwischen 1 und 2 
und mittels der letzteren nur die der 
zwischen 0 und 1 liegenden positiven 
Zahlen berechnen. Auf die letzteren las 
sen sich aber die Logarithmen aller 
reellen positiven Zahlen zurückführeu, da 
wenn m grösser als 1 ist, jedenfalls — 
zwischen 0 und 1 liegen wird, und man 
setzen kann: 
woraus sich ergibt: 
u—1 
lg U = —— + j 
lg « = 
p_ 
\ u — 1 
+ 
MM' 
i(M' 
+.... 
Da nun p so gross genommen werden 
V 
kann, dass y u sich auf eine beliebige 
Grenze der Einheit nähert, so kann 
P_ 
]/ u — 1 so klein, als man will, gemacht 
werden, und man kann sich sogar mit 
einem Gliede begnügen, wenn man p so 
bestimmt. 
i fp_ y 
, dass — w — ij sich hin 
reichend der Null nähert. Ist also lg u 
auf s Decimalstellen zu bestimmen, so 
muss sein: 
d. h.: 
2 P 
10 
2 
eine Reihe, die allerdings convergirt, 
wenn u grösser als Eins ist, aber mit 
wachsendem u so langsam, dass sie zur 
numerischen Berechnung nicht zu be 
nutzen ist. Dagegen kann man Reihen 
für lg u bilden, deren Convergenz so gar 
bis auf jeden beliebigen Grad zum Wach 
sen gebracht werden kann. 
Zu dem Ende sei u zunächst grösser 
als Eins, dann: 
P_ 
U — YU P’ 
wo p eine beliebige ganze Zahl ist. Man 
hat dann: 
p 
lg U ~ lg y = P lg y w 
und daher: 
setzt man übrigens p — 2 , so wird die 
V_ 
Bestimmung von y u sich auf wieder 
holte Ausziehung von Quadratwurzel be 
schränken. 
Sei jetzt u kleiner als Eins, so ist 
v = — zu setzen, wo man dann hat: 
u 
lg« = — Igu 
und mit dem letztem Ausdruck ist wie 
oben zu verfahren. — Bekanntlich lassen 
sich aus unserer Formel auch recurrente 
Reihen für lg u ableiten, welche die Lo 
garithmen der grösseren Zahlen durch 
die der kleineren geben, und äusserst 
schnell convergiren. Indess sind der 
gleichen Formeln nur als Interpolations 
formeln zu betrachten, da die Fehler, 
welche man bei den kleineren Zahlen 
begeht, sich für die grösseren summiren, 
und in gewissen Zwischenräumen directe 
Berechnungen nöthig machen. 
Was noch die Logarithmen der nega 
tiven und complexen Zahlen anbetrifft, 
so ist auf dasjenige zu verweisen, was 
darüber in dem Artikel Quantität gesagt 
worden ist. Jedoch berührt die Ent 
wicklung der Bögen und Potenzen der 
trigonometrischen Linien, die hier zu 
gebenden Betrachtungen. Man hat be 
kanntlich :