Reihe.
282
Reihe.
unbestimmt werden, so dass die Summe
d t\ . df 2 {x)
d (x) dx
dS
aufhört die Grenze von — zu sein. — Es gilt aber für Potenzreihen der Satz:
II. Wenn eine Reihe
S = a a + a t x a i x2 4* • • •
convergirt für jedes x, dessen Modul gleich r ist, so wird für jedes x, dessen
Modul q kleiner als r ist, sein
dS
- = «!-{- 2a t x -f- 3a 3 x* 4- ...
also gleich der Summe der Differenzialquotienten, denn es ist:
lim
dS S (x + v) — S (x) (x4-v)
T =lim-— 1 —- — = -—■——
dx v „ s v
Betrachtet man nun die Glieder dieser Reihe vom nten an, so kommt
( x 4 y) n
, „ r/ „ , N«-l , , N n-2„
+ a — T — ei (Y# -f- v) *4" (x -4" v) %
n-\-1 v u
+ .-\-{x + v)x n 2 +x n 3 ]+ « n _|_ 1 [(a; + y)”4-(» + »')" *« + •••
+ i x 4* v ) x 4" x ] + • • ♦
Sei mod a n — b , mod.r = o, mod x-\-n — ¡/, so liegt die Summe der Modul dieser
Reihe zwischen
nb rß n ~ ' + *) b «4., Q 1 + • • • > und nb n / n ~ ' + (« + 1) b , (/ w ,
n— l
n-\-
n-\-1 1
welche entstehen wenn man im ersten Falle (/ für q im zweiten q für p' setzt,
also die Modulsumme einmal vergrössert, das andere Mal verkleinert. Da nun
nach Satz I. die Reihe +26 2 ()4" • • • 4 -M ^ n (? M 1 + ... convergirt für n und
(/, so wird mit zunehmendem n sein
nb n Q n ~ 1 4-(«4-1) 4-. • • = 0
und ebenso, wenn man q’ für q setzt; es wird also T — 0 sein, und man
, . dS (x-j- v) s — x S . , .
kann m dem Werthe von — = 2 a , sich s immer endlich denken,
dx s s v ’ ’
dS s s ■—* j
in welchem Falle man hat: — = 2sax , was zu beweisen war.
dx
10) Reihe der negativen Potenzen einer arithmetischen Reihe.
Die Reihe x s , (s-f-ft) 5 , {x + 2«)* . . . war immer eine arithmetische Reihe
ster Ordnung so lange s eine ganze positive Zahl war. Sei jetzt s eine negative
(ganze oder gebrochene) Zahl, und untersuchen wir die Reihe:
S = x~P + (x+ «) ^ 4* (* + 2«) ^ 4- • • •
Offenbar werden die Glieder mit wachsender Stellenzahl sich der Null nähern,
jedoch haben wir gesehen, dass dieser Umstand nicht zur Convergenz der Reihe
ausreicht.
Untersuchen wir nach Abschnitt 3) den Ausdruck:
