Reihe. 
287 
Reihe. 
—wil s—l 
x + 2 {2p — 1) « 
1 
1 
1 
1 
x + (2 q + 1)« x -f- (2 y + 3) a 
x -j- (4 q — 1)’« 
+ 
Nehmen wir an, dass q kleiner als p sei nnd dass die Reihen der positiven nnd 
negativen Glieder aus n Partialreihen, wie in jeder Columne enthalten sind, be 
stehen, um dann eben so viel negative als positive Glieder zu haben; es wären 
dann zu T noch hinzuzufügen die Glieder: 
1 
1 
1 
x + (2n p — 1)« 
x + (2nq -f-l)« x + (2m q + 3) a 
Dann aber würde die Reihe T sich in <S l verwandeln, so dass man hat; 
wofür man auch schreiben kann: 
1 
1 
woraus sich für wachsendes n ergibt: 
p-q 
also: 
oder mit Berücksichtigung des Werthes von S\ : 
6) 
V 
Der Werth von T hängt also von dem Verhältnisse — allein ab. Für x — cc, hat 
q 
man einfach: 
Dieselbe Formel lässt sich leicht beweisen auch für den Fall, dass q grösser als p 
ist; es ist dann nämlich nur q mit p zu vertauschen, und das Zeichen der Ergän 
zungsreihe, welche zu S l kommt, zu ändern, was dann denselben Ausdruck gibt. 
— Was den Ausdruck 7) anbetrifft, so ist cs interessant zu bemerken, dass diese 
convergirenden Entwicklungen die Logarithmen ganz beliebiger ganzer und ge 
brochener Werthe enthalten. 
Mit Hülfe der Theorie der bestimmten Integrale lässt sich ein Summenaus 
druck für die Reihe: 
a; 
finden. Es ist nämlich bekanntlich (siehe den Artikel Quadratur):