Reihe. 
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Reihe. 
wo r(s) der bekannte Ansdruck ist, welcher für ganzes positives s den Werth 
1 • 2* 3 • s — 1 annimmt. Man hat sonach, wenn man für u nach und nach x, 
x + k, x-j-2a . . . setzt: 
1 /*°° tt 5 “ 1 / , —(* + <*)# — (.r + 2a)d . 
R («) = W) J * . (• + e + c +• • ■ 
+ e -[.+(«-.).]» )rf , = _^y' 
-x9■ s — 1 1 
xT — 
-nad 
1 — e 
-ad 
dd. 
Die Formel ist selbstverständlich nur für positive Werthe von s gültig; auch 
muss x positiv sein. Setzt man n — co so erhält man, wenn R die Reihe 
+ 
+ 
vorstellt: 
^ { x -j- a) S (x + 2 a)' 
—xd S — 1 
+ ... 
R = 
1 r w e , n 
r ( s )./ 0 
Die Gültigkeit des Integrals verlangt aber noch eine weitere Beschränkung. An 
der untern Grenze verschwindet nämlich der Nenner. Setzen wir daher: 
J 
-xd s — 1 7n 
d dd 
— ad 
J 
—xd s—1 7 
v e d dd 
1 — e 
— ad 
/ C x 
— 
0 1- 
■ad 
wo v abnimmt, so wird das zweite Integral einen endlichen Werth haben. Man 
kann dann vermöge der Form : 
/ b pb 
f(x) if (x) dx = f[a+((h — a)] j (f {x)dx, 
c i ■' a 
wo « zwischen 0 und 1 liegt, und welche Formel für alle Functionen f(x) gilt, 
welche in den Grenzen a und b ihre Zeichen nicht wechseln, dafür schreiben: 
1 — e 
Bei abnehmenden v ist aber: 
l 
y d s ~ l ddJ-r± 
M —ctsv 
s(l-e ) 
— asu 
e — 1 — «fr, 
zu setzen, woraus sich die Grenze ergibt: 
s — 1 
V 
, ein Ausdruck, der continuirlich 
sas 
bleibt, so lange s grösser als Eins ist. 
Diese Bedingung ist also für die Gültig 
keit unserer Formel hinzuzufügen. Die 
Formel kann aber nicht für die Grenze 
s = 1 angewandt werden, da das Integral 
in den Grenzen 0 und v einen endlichen 
Werth hat —, also Discontinuität statt- 
« e 
findet. Bei der Formel für R (n), wo n 
endlich ist, findet die letzte Beschrän 
kung dagegen nicht statt. 
11) Regeln für die Convergenz 
der Reihen mit positiven Vor- 
e~ xsv = l-x t v 
Zeichen, falls die Ausdrücke 
1 
a , . — 
s + l s 
, a 
a s 
s 
sich der Einheit nähern. 
Da bei der Reihe der negativen Po 
tenzen, die früher gegebenen Kennzeichen 
der Convergenz nicht ausreichten, dessen 
ungeachtet aber die Fälle, wenn diese 
Reihe convergirt, ermittelt werden kön 
nen, so kann man auch andere Reihen 
mit diesen vergleichen, und hieraus ueue 
Regeln über die Convergenz ableiten, 
Es ist hierbei die Reihe der negativen 
Potenzen ganz wie oben die geometrische 
zu behandeln.