Reihe. 
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Reihe. 
«I 
Sei die zu untersuchende Reihe wieder 
a o + a i + a 2 • • • + a n + • • • 1 
wo wir uns alle Glieder reell und po 
sitiv denken. 
Vergleichen wir die auf das ste Glied 
folgenden Ausdrücke: 
Ö —f— 05 , + it • „+..• 
s S+I S + 2 
mit den entsprechenden der Reihe: 
+ 
+ 
s“ (s + l) K (s + 2)' 
+ . 
wo « grösser als Eins ist, die also nach 
Obigem mit wachsendem s der Null sich 
nähert, so wird dasselbe mit den Glie 
dern der gegebenen Reihe der Fall sein, 
und somit die gegebene Reihe conver- 
giren, so bald für wachsendes s, a < — 
s « 
i 1 S 
d. h, > a und « selbst grösser als 
lg s 
Eins ist. Ist a aber kleiner als Eins, 
so wird die Reihe 
also grösser sind als die der divergenten 
Reihe: 
1 1 , 1 
y + T+T + TTT + ’*' 
Diese wie alle Betrachtungen über die 
Convergenz gehen von dem Satze aus, 
dass jede Reihe dann convergirt, wenn 
ihre Glieder von einem bestimmten an 
schneller abnehmen, als die einer an 
dern als convergent bekannten Reihe. 
Jedoch gibt es in Bezug auf die Ver 
gleichung zweier Reihen noch ein an 
deres oft anwendbares Kennzeichen. 
Satz II. Ist 
«o + a L + a 2 +- . . . 
die zu untersuchende Reihe, 
io + + • • • 
eine andere schon als conver 
gent bekannte, und sind die 
Glieder beider Reihen positiv, 
so wird die crstere Reihe immer 
convergiren, wenn man von 
einem bestimmten, dem sten 
Gliede bis ins Unendliche hat: 
b 
s+1 
+ • 
+ . .. 
a 
< 
s+1 
s“ (s + l) fi 0 + 2) K 
sich nicht der Null nähern, folglich auch 
nicht die vorgelegte, sobald 
Denn wenn man die letztere Reihe mit 
«s 
—, wo s eine bestimmte endliche Zahl 
a > —, also < « 
s « Igs 
ist, multiplicirt, so wird dieselbe noch 
immer convergiren. Die Reihe vom s ten 
Gliede an ist dann: 
ist. Daraus folgt daun der Satz : 
Satz I. „Eine Reihe conver 
girt oder divergirt, je nachdem 
lg 
der Ausdruck 
lg s 
sich mit 
“. + r 4 >+i + r‘i+2 + - • • 
und der entsprechende Theil der zu un 
tersuchenden Reihe 
wachsendem s einer Grenze nä 
hert die grösser oder kleiner als 
Eins ist.“ 
Dies Kennzeichen verlässt uns, sobald 
die Grenze der Einheit gleich wird. Ist 
jedoch für jedes endliche s von einem 
lg ~ 
bestimmten an immer noch kleiner 
Igs 
als Eins, so wird die Reihe divergiren, 
da dann a > — wird, und die Glieder 
s s ’ 
a + a 
s 
Aber da 
a 
s+ l + a s + 2 + 
S+1 
< 
s+1 
ist, auch: 
‘s + 1 <V 
s+1 
S-|— 2 
s + 2 s + U i 
s +1 
b s+ 3 
‘s + 3 <a s + ,l <« 
S + 2 
s+3 
s —f— 2 
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