Reihe. 
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Reihe. 
.-(^-Ov Gif- 1 )«, 
,=( !L i i - 1 )(^T- 1 )ßTl- 1 K 
allgemein; 
_/«+! /» + 2 /" «+i A 
=\——VIttt -1 / • ■ • (t+t-i- 1 )“. 
S -|— t \ S ) \ 5 -j- 1 / \ S -j- i 
Es kommt also nur darauf an, dass mit zunehmendem t sich der Ausdruck: 
f«+l iW M + 2 ( n + l 
= (.-!)'0 
.S-f <- 1 
n + ' 
W n + 2\ 
(l n+t ) 
)V -8 + 1/ ’ • ' 
V 1 s+i-l/ 
der Null nähere, wo s so gross als man will genommen werden kann, 
obigen Ausdrucks aber kann man den offenbar grösseren: 
Statt des 
untersuchen. 
s -j-1 / \ s —f— i ■ 
Und wenn s sehr gross ist, kann man vermöge der Gleichung: 
lim 
0-t) S = 
setzen: 
1- 
n-j- 1 
n-j-l 
s 
n +1 
H+1 
e+1 
1- 
n+ 1 
rt+t 
S -j-1 — 1 
S + 1 — “ ’ * s + i-1 
wo dann der zu untersuchende Ausdruck die Gestalt annimmt: 
-(«+!) 
(1+J- + . ..+ i_Y 
Vs ^s + 1 ^ ^ s + t- V 
Die in der Klammer eingeschlossene Summe aber wird hei wachsendem t, wie 
wir gesehen haben, unendlich gross; immer also wenn n-j-1 positiv ist, wird diese 
Grenze Null werden. Somit folgt für die binomische Reihe der Satz: 
Satz. Die binomische Reihe für (l-fa:)* 1 convergirt, wenn 
x-— 1 ist, immer noch, wenn n positiv ist, für a: = +l immer, wenn 
n-f-1 positiv ist. Sie divergirt für x—~ 1, wenn n negativ ist, 
und für x ~ -j-1, wenn n + 1 negativ ist. 
Die Untersuchung der Grenzfälle namentlich bei Potenzreihen macht oft um 
ständliche Untersuchungen nöthig. 
18)Recurrente Reihen. 
Eine recurrente oder rücklaufende Reihe ist eine solche, deren allgemeines 
Glied eine Function einer bestimmten Anzahl von vorhergehenden Gliedern ist. 
Damit also die Reihe : 
a o + a i H“ ö 2 + + • • • 
eine recurrente sei, muss man haben: 
1) 
• a s- p y 
s T ' s—1’ s 
Es ist im Allgemeinen Aufgabe der Differenzenrechnung das independente Gesetz für 
das allgemeine Glied zu finden. — Wir beschäftigen uns hier mit denjenigen Reihen, 
welche im engem Sinne recurrente genannt werden; dieses sind solche, wo zwi 
schen einer Anzahl auf einander folgender Glieder eine lineare Beziehung statt 
findet, also die Gleichung 1) die Form annnimmt; 
2) 
wo a. 
a 4- Ki a 
s ' 1 
K 
P 
A + Ci n CI 
5—1 1 2 S 
Constanten sind. 
+ 
-f- k ei — 0, 
' P s—p ’