Reihe. 
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Reihe. 
7) Ar = 
Die Gleichungen 4) und 7) lösen die Aufgabe vollständig. Dies ist sogar fin 
den Fall richtig, wo zwei oder mehrere Wurzeln gleich werden. Es nimmt dann 
die Summe der entsprechenden Glieder in 4) mit Berücksichtigung von 7) die 
Form g an, welche nach den gewöhnlichen Regeln bestimmt wird, und so zum 
Resultate führt. 
Die Reihe 
rt o + ö i+ il 2+- • • + a n _ l 
lässt sich leicht summiren. Dieselbe zerfällt nämlich in Partialreihen, deren all- 
s — t 
gemeines Glied die Form hat: s^Aw ; für l ~ 0 ist dies eine geometrische 
1 u 
Reihe, und die Summe ist A —. 
1 —tt 
In jedem andern Falle ist das allge 
meine Glied : 
, also die Summe: 
1-2 ... t , t ’ 
du 
1 ■ 2 ■ ■ • ‘ iu‘ v 1 
unendlich vielen Gliedern hat man, wenn der Modul von u kleiner als Eins ist 
für die Summe bezüglich: 
Eine andere Methode zur Ermittelung des allgemeinen Gliedes ist die von 
La Place herrührende Betrachtung der erzeugenden Function, welche wir hier nur 
kurz gehen wollen. 
Man kann das allgemeine Glied a nämlich als den Coefficienten der unend- 
° s 
liehen Reihe : 
a 0 +«!«+ a 2 x* + . . . 
betrachten. Setzt man nun: 
b 0 + ^i x + ^>i x ' + • • • + 
a 0 +a l a+fl s ® i + . . . 
so wird der Ausdruck rechts, den wir mit f(x) bezeichnen, die erzeugende Func 
tion der Reihe links genannt, und wenn man den Nenner wegschafft, so erhält 
man als Coefficient von x S rechts den Ausdruck: 
Dieser Ausdruck aber ist gleich Null, wenn s grösser als p — 1 ist. Somit erfüllen 
die Coefficienten unserer Reihe in der That die Gleichung 2). Ist s kleiner als p, 
so hat man: 
¿>0 = a 0 » ¿1 = «0«l + = 
b p - l = *o* p -i + a i« p -2 + **« p J3 + - • • +Vr 
Sind die Grössen a 0 , a t ... a^_ ( gegeben, so lässt sich also auch b 0 , ^ 
finden. Es ist mithin der Coefficient von x g in der Entwickelung von f(x), 
oder wenn man mit Res«/ (x) den Coefficienten von — in der Entwickelung von 
(f {x) bezeichnet: 
a = Res 
s