Reihe. 
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Reihe. 
Um nun das independente Gesetz von f\x) zu finden, braucht man nur die 
Function /•(*) in Partialbrüche zu zerlegen, wo sich dann ergibt: 
f{x) = A 
(-f)’ 
wo n irgend eine positive ganze Zahl, A und q Constanten sind. 
Der Coefficient von x g in dieser Entwickelung ist: 2'(n+s — —i und 
s q , 
dies ist der Werth von Diese Methode hat den Vortheil, dass sie ohne 
weitere Unterscheidung der mehrfachen Wurzeln immer zum Ziele führt. Auch 
ist sie leicht auf doppelte und mehrfache Reihen anzuwenden. 
Nach einer Methode, die einem ähnlichen Theorem in der Theorie der linearen 
Differenzialgleichungen genau entspricht, lässt sich das independente Gesetz einer 
lieihe, deren Glieder die récurrente Beziehung erfüllen: 
8) 
+ C< 2 a s — 2 + • * • + Ys-p = 'f (s) ’ 
ro »/(s) eine beliebige Function des Index s ist, auf die eben behandelte Auf- 
(s) 
irgend wie gefundene par 
tielle Lösungen der Gleichung 2) so setzen wir; 
(s) (s) 
gäbe zurückführen. Sind nämlich u l , u 2 
9) 
X s ) 0) , .00 ( s ) , , .0) (*) T ,oooo 
A. u, 4- A, m, +...+A u — 1A u , 
111221 PP PP 
(s) (s) (s) 
wo A, , A 0 . . . A zu bestimmende Functionen sind. 
I > 2 p 
Nehmen wir für dieselbe zunächst die p — i Beziehungen an: 
10) 
so erhalten wir mit Benutzung dieser Gleichungen, wenn wir den Werth von a g 
in 8) einsetzen, und berücksichtigen, dass nach der Annahme : 
(0 
-j— Ci | u 
(s-1) 
Ci < 
(8-2). 
u 4- 
p ‘ 
, ( s ~p) 
F ct Ui 
' » h 
ist : 
+ ((i jA^u( s + a 2 SA^u( s + . . . + u p _Y Ä ^ u ^ S 1>+ ^ 
+ « 2Vl' S ' ^ l/' S P') — q (s), 
wo die Gleichungen 10) angewandt sind, indem man für s nach und nach s 
(s — 1), (s — 2) . . • gesetzt hat. 
Offenbar ist nun: 
+ tti j-a( s )i/ s-1) + . . . + y/ s )i/ S "^=0, 
also wenn man diese Gleichung von der vorigen abzieht: 
dpi (4 S ~^ — A^) m (s — , f ( S ) 
oder: 
L J « ’ 
P 
eine Gleichung, die wir mit den folgenden verbinden, die mit 10) gleichbedeu 
tend sind: