Reihe. 
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Reihe. 
1 1 (■, , , _ü! i_ \ 
4m*n*— « 2 4m 2 TT 2 \ (2mn) 2 (2mn) t (2mn) 6 / 
also: 
wo zu setzen ist: 
cot — — 4«(fc 0 fl 2 + £ 2 «* + 
m — co 
k = 2 
•), 
m=J (2mn) 2a + 2 
ß 
Man hat aber 
i6) 
1.2.3.. = 2 ‘ s -l ”" ä som!,: 
1 • 2 • 3 ... 2s 
"V ( 1 + 4 !,+ 8 !,+ 4 m+ ' ' ) 
Die Reihe rechts convergirt immer, und um so mehr, je grösser s ist. Umge 
kehrt kann dies Verfahren auch dienen, die Reihe 
1+ ^ + 3^ + -;- 
zu berechnen, da die Bernoullisehen Zahlen bekannt sind. 
Aus der Formel 14) erhält man: 
B a — ■— 1, B„ — h B 6 — B g = jttj) B l0 = -fa, 
B12 — iViV» = ir • • • 
Diese Zahlen nehmen allerdings zuerst ab, aber von B 6 an nehmen sie bis ins 
Unendliche zu. 
Aus der Formel 15) ergibt sich; 
also, z. B.: 
1 + — + — + — + 
2 2s 3 2s 4 25 
1 +-^T+-^+lT + • 
1 + -^r+-^T + -^- + • 
1 + -^r+,^r + -^r + - 
Wir hatten in Abschnitt 10) gefunden: 
1 . 1 
i+- 
„ ! V s -'ß 2J 
1 • 2 • 3 ... 2s 
2* n i 
30-1 *2 -3- 4 
2 5 71 8 
42- 1-2 ... 6 
.GO Xd „S — i 
s + - , 
(#-(-«) (a?+ 2«)‘ 
+ . • • = 
r e d 
•' 0 1 — e~ 
r{s) 
CO # c — 1 
dd 
ad 
also, wenn x = a = 1 war: 
11 1 e v d 0 ~\ 
1 + _ ^ + 1 + ‘ * ’ = FfT) J =7 
2 S 3 1 ^ J 0 1 — e 
dd 
d~ 
wo s grösser als Eins sein musste. Vergleichen wir die Integrale mit dem eben 
Gefundenen, indem wir r(2s) = 1 • 2 . . . (2s — 1) setzen, so ergibt sich: 
2s~2s —2 
f 
00 d „2s—1 
e d 
1 — e 
n 2 
B 
dd- — 
2S 
16)