Reihe. 
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Reihe. 
— 1 = — also 6 S — 0, 
für p — 4, also 
— 1 = — 1 + j 6 5 , also b s — 0, u. s. f. 
Es sind also alle b mit ungraden Indices der Null gleich, und man hat, indem 
wir noch setzen: 
i 2s = (-l) S+l B, s 
li) — * i>+ ')—iö/ — * y ) + *—') 
Pi 
,« 3 i? 4 (y 
2 
P- 3 
P-3 
) + ... 
Die Reihe bricht offenbar von selbst ab. Um das Gesetz der Coefficienten zu 
bestimmen, können wir setzen : 
x = 0, « = 1 
und erhalten: 
12) 1 P + 2 P + • . • + {n-\) V = 
J+ 1 
p 4-1 
P _ p 
Pi D „i- 3 
-f B ' n 
es reicht aber ein Werth von n schon völlig zur Bestimmung aus. Setzen wir 
daher : n — 1, so kommt: 
i3) i= 7 ^ T -i+|* 1 -^s. + -.. + (-i) ,,+ ' 
wo p grade ist. Für ungrades p hat man : 
P 
B 
P 
Es ist leicht ersichtlich, dass die Formel 13) mit Formel 14) des vorigen Ab 
schnittes übereinstimmt, da 
Ps JPs +1 
s + 1 p — s 
ist. Macht man diese Aenderung, so hat man in der That die erwähnte Formel. 
Ausserdem aber gibt Formel 12) unendlich viel recurrente Beziehungen für die 
Bernoulli sehen Zahlen, welche alle dieselben definiren. Der Ausdruck 11) gibt 
dann die verlangte Summcnformel 
B. Allgemeine Summenformel. 
Der folgende Ausdruck enthält eine allgemeine Summenformel, deren An 
wendung jedoch gewissen Beschränkungen unterliegt. 
Wir setzen: 
-2/0») = f(je) + f(x + «) -f- f{x + 2a) + . .. +f[x + (n—1)«] , 
wo f eine beliebige Function vorstellen soll. Nun ist nach dem Tajlorschen 
Satze: 
f(x + (c)-f(x) = c(f f {x) + YT2/■"(*) + • • - , 
also, wenn man für x nach einander :c, x-\-ct, x + 2« . . . # + (« — !)« setzt: 
f{x + na) - f(x) = c(2f'{x) + + . . . ; 
setzt man: 
f'{*) = 7 0)>