Reihe. 
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Reihe. 
/« = +(«— 1) \ n +na 
( S f(*a) + 1 f(na) —i /•(-««)) = / fi*)dk 
\s=—n / * —na 
+n« S - CO 9 c TT 3 
+ 2/ J? cos ——— f(k)dk. 
' —na s— 1 a 
Wir setzen jetzt: 
■/‘(A) = <f (x -f- A-f-n«), 2n = n f , x-\-n’a — y 
- 7 (») = '/'0*0 + 7 (* + «) + 7 (» + 2«) + . . . + 7 [« 4- (2« — 1) «], 
so kommt: 
F) « [.17.0*0+ ? 7'0/) —*7 0*0]= / 7'0)^ 
^ a; 
^ .r s = 1 ' “ ' 
Diese Gleichung ist für den Fall entwickelt, dass y — x -\-2na ist. Sie gilt aber 
noch, wenn y — x + (2n — 1) « ist. Denn setzt man y = x + (2n — 1) « statt x in 
dieselbe ein, so ergibt sich: 
« ['/ (/) + 4 7 (y) — \ 7 (yOl = / 7 0) d A + 2 / JT cos 71 ^ 7 (-A) d A 
y’ y' s=\ a 
und zieht man diese Gleichung von der obigen ab. so bleibt die Form die der 
Gleichung F), nur dass y f = y erscheint, so dass dieselbe gilt, es mag y um ein 
grades oder ungrades Vielfaches der Differenz sich von a unterscheiden. 
Wir setzen nun: 
B J_ v 
2« 2 2«-1 ;j 2„ V g 2» ) 
Es ist dann B genau der im vorigen Abschnitte entwickelte Ausdruck für die 
Bernoullischen Zahlen. Berücksichtigen wir, dass man hat y — x — n'A, wo n' eine 
ganze Zahl ist, so erhält man: 
co> 2.»(»-») = i, , !n 8.»( ! l-») = 0[ 
und durch theilweises Integriren: 
G) 2 f 
•J m 
y S-OO 2sn(k — x) B 1 a 2 , , 
2 cos - 7 (A) rfA =+ -jTg- [7 0/) - 7 (*)] 
a; s = 1 
*4 
1-2-3 • 4 
«* [7'"W-rW] + --+(" 1 > 
B 
2 n 
1 - 2 ... 2 n 
- , +(-l) n (|;) /J ( j f i -kcos?i2Ü-^) f (=”) a) , U . 
Setzt man diesen Werth in die Gleichung F) so erhält man einen Ausdruck der 
mit 16) übereinstimmt, nur dass ein Schlussglied hinzukommt. Es ist nämlich; 
16a) = f y — »(*)]+ ¿7^ «[/(») —/(*)] 
- i: ”‘374 «’ [»’"&) - f"'(*)] + • • • 
,)n—1 in—1 r (in—l). . (in—l), .. -i\ n o 
1 « ['/ '(*)] +(-i) R . ln , 
+ (-r 
in 
1 • 2 ... in 
wo zu setzen ist: