Reihe. 
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Reihe. 
Nun ist, wenn S, 0' echte Brüche sind: 
1 (-1 JL-l 
° \ x) x 2x 2 x 2x 2 3x 3 ’ 
eine Formel, welche gilt, so lange x grösser als Eins ist, (vergleiche den Taylor’ 
sehen Satz) also ; 
(*+i)lg(l + -l) = l+(i-|')i = l+ : i ; , 
wo e ein positiver oder negativer echter Bruch ist, also: 
(1 (.r) x 2 
W+T) - e • 
Setzt man hierin für x nach einander x -f-1, x-f2 
alle sich ergebenden Gleichungen, so kommt: 
—-4-— 1 | * 2 | 
<f (x) _ x 2 (x-fl) 2 (x-f2) 2 
VW)~ e 
, . 2x — 1 und multiplicirt 
_j_ f x— i 
(2x - l) 2 
x 1 
und die Summe der Reihe im Exponenten ist kleiner als — oder ■—, so dass 
x 2 x 
T 
man hat: — e x , wo r wieder ein echter Bruch ist, also mit wachsendem x: 
7 (2x) 
'4 (x) f« (a;)! 2 
—: n 1; es war aber ■■■ = 1, also auch 7 (x) = 1, und man hat also: 
7 (2*) 7 (2x) 
—X x-ff 
1 • 2 • 3 . . . x — y2ri e x 
für wachsendes x. Es ist dies der bekannte von Stirling herrührende Näherungs 
ausdruck, der in dem Artikel: Quadratur auf andere Weise gefunden ist. 
Sei jetzt aber x eine beliebige ganze Zahl, und möge 7 (x) noch immer den 
Werth in Formel a) haben. Es ist dann, wenn man unter .T(x-f 1) das Product 
1*2 . . . x versteht: 
lg r{x + 1) = £ lg 2a: -f (x -f 4) lg x — x + lg 7 (x); c) 
aber es ist identisch: 
■■• + üTOV lg '' ( * +m+1 > 
und da mit wachsendem m sich 7 (x -f m -f- 1) der Einheit nähert: 
m _ co 7 (x 4- ni) 
und mit Hülfe von Formel b) ergibt sich: 
•**<■» [ (l+ ”‘ +i)lg ( 1 +^)- :1 ] 
also: 
lg r(x -fl) — 4 lg 2n — x -f (x -f 4) lg x 
+ , “i"[(» + ,„ +1)lg (i + 1 )_jl 
m~ 0 L ' x -f m / J 
d) 
e ) 
f) 
Diese Formel, welche der folgenden Entwickelung zu Grunde liegt, ist für 
den Fall abgeleitet, dass x eine ganze positive Zahl ist. Es beschränkt sich 
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indess bekanntlich die Bedeutung des Ausdrucks T (x -f 1) = / e r< « dx nicht 
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