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mm: k 
ißm ’! №* 
Reihe. 
Kann man das letzte Glied für irgend ein n vernachlässigen, so hat man also 
einen Näherungswerth für lgT(a; + l). 
Es ist aber die Stirling’sche Reihe nie convergent, denn das allgemeine 
ß 
ist, wenn man den Werth von einsetzt, 
2 n — 2 
2nx 
, der erste aber wächst ins Unendliche. 
Somit ist eine Annäherung an lgr(#-i-l) auf beliebige Grenzen durch die Stir 
ling’sche Reihe unmöglich. Indess gibt sie eine Annäherung und gehört somit 
in die Anzahl der halbconvergentcn Reihen. In der That nehmen die Glieder 
der Stirlingschen Reihe im Anfänge ab, wenn x grösser als Eins ist, und die 
Formel k) zeigt, dass der Fehler immer kleiner ist als das erste weggelassene 
ß 2n— 2 1 
Glied. Denn dasselbe ist (— 1)« — -, während der Fehler 
v ' (2m +1) (2m+ 2) 2m-hi 
dem Product dieses Gliedes in den Factor r, der ein echter Bruck ist, gleich 
war. Man hat also die beste Näherung, wenn man bei dem Gliede, welches dem 
kleinsten der Reihe vorhergeht, stehen bleibt. Dieses kleinste aber gibt die obere 
Fehlergrenze, — Lassen wir zunächst das mit B- multiplicirte Glied weg, so 
B 
kommt als Fehlergrenze — = Es ist also, wenn man; 
Reihe 
\fl— I 2« J 
Glied (—1) -rz ,- n — 
v ' (2m—1} 2m ^¿n 
gleich dem Producte; 
multipllcirt in ¿^(l + A.+gj 
2M 
Die Grenze des zweiten Factors ist 
2 n 2 x 
—x + 
xx + i 
\2 n 
u e 
so ist: 
woraus sich ergibt: 
2M + 2 
4 71 
2 n 
oder; 
4Ti 2 ’ 
lg r{x +1) = 4 lg 2m — x + (x + £) lg x 
setzt, eine positive Grösse vernachlässigt, die kleiner als ist. Also wenn man 
von den Logarithmen zu den Zahlen übergeht, kommt: 
< F(x + 1) < 
12x x x+% 
Cauchy gibt noch folgende Grenzen für die Bernoulli’schen Zahlen. 
Sei 
1 . 1 
_ r(2m+ 1) s 
1 2M 2m’ 
(2M-fl) (2m+ 2) ^2m+2 
(2m+i) ^ 2n 
und du die Summen S mit wachsendem n abnehmen; 
'2m+2 ^ (2m-(-1) (2m+ 2) 
(2M+1) 
2M+2 
(2m + l)(2n+2)