Reihe. 
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Reihe. 
(-iy“ 
d? lg P(# +1) _ F(/u - 1) r(u) _ B 2 r(u + 1) 1 
dx lU 
-1 
2x^ 
+ (-!)* 
+ (-!)' B 
+ (3) x /u +1 
B r (“ + 2w — 1) 
2» r(2n +1) ^ + 2«- 
r(« + 2» + 1) 1 
• o) 
2w-)-2' P (2w + 3) ^ fx -j- 2w +1 
Für grosses x ist also z. B. ein Annäherungswerth von ^ ^ ^ ^ schon der 
dx 
Ausdruck lg (x). — 
In dem Artikel: Quadratur ist die Formel bewiesen; 
l + | + ff + > - ’ + ‘7 
1 d lg r(x + 1 ) 
dx 
= c, 
wo C also dieselbe Constante ist, welche in diesem Artikel in der Formel: 
1 + 1+ j+ • • • + ~ = 
enthalten ist, und welche für wachsendes n galt. 
Setzen wir für -~ X den obigen Werth, so kommt: 
dx 
C- (l+,*+*+• . - + ^) “ 1 S a; - ¿ + ••• + (- !)“ 
— 1 2 n 
2 nx i 
und der Fehler ist kleiner als 
2 M+2 
(2» + 2) x 
2M+2 
; bricht man mit B l2 ab, und setzt 
die Werthe der Bernoulli’schen Zahlen ein, so kommt: 
C —1 + 1 + 1+ ■ • • + — 
, 1,1 
‘ gX 2# + 12# 2 
20#* T 252a: 6 
240# 8 
+ 
691 
132# 10 32760# 12 
+ . . • 
und der Fehler ist kleiner als -—■■■ für # = 10, also kommt: 
_ , , , , , ,1 . 1A 1 , 0,01 0,0001 , 0,000001 (0,1) 
c = 1 + 1 + 1+ . • • +Td — telO—cvö + ^TW + 
10 
20 1 12 120 
+ 
252 
(0,1) 1 
240 
(0,1) 15 
132 32760 * 
Hieraus ergibt sich der bereits gefundene Werth von C ungemein schnell. 
Diese Entwickelungen sind hier ausführlicher gegeben, weil sie ein besonders 
gutes Beispiel gewähren, wie divergente Reihen dennoch für die Entwickelungen 
von grossem Nutzen sein können. 
15) lieber die Schwierigkeiten, welche sich aus der Entwicke 
lung mehrdeutiger Ausdrücke in Reihen ergeben, lieber die 
Reihenausdrücke für die Potenzen der Sinus und Cosinus. 
Da mehrdeutige Functionen sich in gewissen Grenzen in convergenten Reihen 
entwickeln lassen, so entsteht oft die Frage, welcher der Werthe durch eine be 
stimmte Entwickelung dargestellt sei. Wir geben ein bekanntes und wichtiges 
Beispiel einer solchen Entwickelung, nämlich der Potenzen der Cosinus und Sinus 
nach Cosinus und Sinus der vielfachen Bogen. Wir setzen: 
es ist dann; 
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