Reihe. 
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Reihe. 
UV — 1, tl -j- V — 2 COS X, U — V — % sin X 
und wenn n zunächst eine ganze positive Zahl ist: 
, ■ s n n , n—1 I n— 2 . . , . n 
(u ;r V) ~ U +«i M V -\-n l u 4- (+ 1) ® • 
Nimmt man das obere Zeichen, und vereint die gleichweit vom Ende befindlichen 
Glieder, so ergibt sich, wenn n grade ist: 
(2cos x) n = 2 [cos nx -f- n cos (n — 2) x 4- n 2 cos ( n ~ 4) x 4-. . . 
-\-n n cos2.r]4-n n 1) 
2 ' 2 
und wenn n ungrade ist: 
(2 cos x) n — 2 [cos nx 4 n cos (n — 2) x 4- n.. cos (n — 4) x 4- ... 4* n n — x cos • 2) 
2 
Ebenso wenn man das untere Zeichen nimmt, wenn n grade ist: 
n 
( — 1) “ (2 sin x) n == 2 [cos — n cos (n — 2) x 4- cos (n — 4) x — ... 
n n 
4- (— 1) 2 n n cos 2»] + (— 1) 2 » M 3 ) 
2 1 2 
und wenn n ungrade ist: 
n— l 
( — 1) 2 (2 sin x) n = 2 [sin nx — n sin {n — 2) x 4 w 2 sin (n — 4) x — . .. 
n— 1 
+ (—1) 2 sin 4) 
2 
Diese Reihen sind für jedes ganze positive n endlich. 
Sei nun aber n ein Bruch, so ist da die Entwickelung von imaginären Aus 
drücken ausgeht, und die entwickelnde Function n-deutig ist die Frage zu be 
antworten, welche dieser Werthe die Reihen vorstellen, wenn die binomische Reihe 
als convergent vorausgesetzt wird. 
Wir setzen jetzt allgemein; 
<f {£) ~ cos nx -(- » cos (m — 2) x + w 2 cos (n — 4) x 4- • • • 
xp{x) — sin nx 4 n sin {n — 2) x 4- n 2 sin (n—4) « 4-. . . 
Die Reihen rechts, die im Allgemeinen ins Unendliche gehen, setzen wir als con 
vergent voraus. In welchen Fällen dies stattfindet, soll nachher erörtert werden. 
Offenbar ist nun nach dem binomischen Satze: 
/ \ . ■ , / \ nxi , in—2)xi , (n—DiCi , 
(f> (oj) +1 xfj \x) = e 4>ti,e v +«2 e ' +••• 
. n 
s X X • X /r\ 
= (e + e ) = (2 cos a?) , 
was auch n sei. 
Ist n eine ganze positive Zahl, so wird »/ (x) = 0, da die gleich weit vom 
Ende befindlichen Glieder sich vernichten. 
Sei jetzt n — — , wo j) und q ganze, positive, relativ einfache Zahlen sein 
V_ 
sollen, so hat der Ausdruck (2 cos x) ^ q verschiedene Werthe, von denen einer 
unsere Entwickelung gibt; es ist somit für jeden Werth dieses Ausdrucks : 
(2 cos a:) ^ = [q (x) 4- i x}j (x)] [cos — 2 s n + i sin — 2 s n],