Reihe. 
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Reihe. 
P_ JL 
q{n) — 2 CJ COS TT, Xp(jl)~2^ s\n-—n, 
es haben dann nämlich die in den Ausdrücken für y (x) und xp(x) enthaltenen 
P_ 
Cosinus und Sinus alle das Argument — tt. Also hat man, da noch X = 2’^ ist: 
— (2s'4-l)Tr + isin -~-(2s' + 1)tt = (cos TT+ i sin 
( COS — 2 S TT + i sin — 2 s 71 ), 
q q / 
also s r — s, somit: 
X (cos — (2s -j- 1) 71 + i sin ~ (2s 4- 1) 77^ = y (x -f- 2 s 77 ) + i Xp (x + 2s rr), 
also: 
II) y (x 4- 2 s tt) — X cos (2 s 4- 1) rr, xp (x 4- 2 s 71) =l X sin (2 s 4-1) n 
und für s = 0, 
n p 
U (X) = X cos — tt, xp (x) — X sin n, 
y q 
die Formeln 1) und 2) geben also für jeden Werth von x die Werthe y und xp. 
Wir haben noch diese Ausdrücke auf ihre Convergenz hin zu prüfen. 
Die Reihe: 
convergirt für jedes reelle f, das kleiner als Eins ist, und es ist leicht ersichtlich, 
dass die Glieder von einem gewissen ab dasselbe Zeichen haben. Nähert sich 
also (1 — t) n einer gewissen endlichen Grenze, wenn t sich der Einheit nähert, 
so muss dies auch mit der Reihe 
Ä= l—n + n 2 —n 3 4- . . . 
der Fall sein, da die mit gleichen Zeichen versehenen Glieder an der Grenze 
keine unbestimmte Summe geben können. Da dies nun bei positiven n der Fall 
ist, so wird die Reihe A convergiren und um so mehr die unsere, wo jedes Glied 
von A mit einem Factor multiplicirt ist, dessen Modul Eins ist. Für negatives n 
divergirt aber die Reihe. 
Für positives n sind unsere Reihen geeignet, die Potenzen des Cosinus zu 
finden. 
Dis Entwickelung der Potenzen des Sinus aber ergibt sich daraus, wenn man 
x mit — x vertauscht. 
U 
Sei z. B. n=\, und sei unter ]/« immer der positive Werth der Wurzel 
verstanden, w r enn a selbst positiv ist; man hat dann: 
x zwischen — Y 
und 4- Y 
y (x) = 4- VCOS X, 
xp (x) = 0 
4- — 
^ 2 
3n 
Y 
y 0) = 0, 
xp 0*0 = ]/ — cos X 
3tt 
Y 
5 n 
Y 
y (x) = — YCOS X, 
-$■ 
II 
0 
5tt 
Y 
7 n 
2 
y 0*0 = 0, 
xp{x) — Y — COS X