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16) Allgemeine Umkehrungs 
formel für die P o te n z r ei h e n. 
Eine aus allgemeinen Gesichtspunkten 
geschöpfte Theorie der Reihen, welche 
nach positiven oder negativen, ganzen 
oder gebrochenen Potenzen fortschreiten, 
so wie derjenigen, welche nach Cosinus 
und Sinns der Vielfachen der Variahein 
geordnet sind, gibt der Artikel: Quan 
tität (imaginäre); indem wir uns auf den 
selben beziehen, geben wir noch die 
wichtige von Lagrange herrührende Reihe, 
welche die Umkehrung der nach ganzen 
positiven Potenzen geordneten Reihen 
enthält. Wir bedienen uns hierbei einer 
Methode von Serret. 
Sei gegeben die Gleichung: 
js= x + tf(z), 1) 
wo x eine reelle Constante, t eine reelle 
oder imaginäre Variable, /"(2) eine be 
liebige, eindeutige und continuirlichc 
Function von 2 vorstellt, die von x und 
t unabhängig ist. Es handelt sich darum, 
2 und eine Function F{z) von z nach 
Potenzen von t zu entwickeln. Diese 
Entwickelung gilt nur, so lange die 
obigen Bedingungen erfüllt. 
Setzt man z. B. dann 
* = °» uml = V (*)> 
so kann man also hiernach die Gleichung 
f (2) = t durch Reihenentwickelung lösen. 
Es handelt sich nun darum, die Gren 
zen der Anwendbarkeit dieser Entwicke 
lung festzustellen. 
Im allgemeinen Falle kann die Glei 
chung eine endliche oder unendliche An 
zahl von Wurzelu haben. Im Falle, dass 
t = 0 ist, wird eine derselben z — x, 
und die anderen werden jedenfalls f{z) 
unendlich gross machen. 
Soll die Gleichung 2) gleiche Wurzeln 
haben, so muss nach einem bekannten 
Satze sie noch richtig sein, wenn man 
nach 2 differenziirt, man wird also in 
diesem Falle haben: 
1=*m 2) 
Eliminirt man dann aus beiden Gleichum 
gen t, so kommt: 
S = X -f 
/■(*) 
r(»y 
Die Wurzeln dieser Gleichung sind 
t unabhängig. Wir bezeichnen sie 
züglich durch r l e nr ‘*, r 2 e rt ' 2 * . . . , 
setzen sie in die zweite Gleichung 
wo sich dann ergibt: 
3) 
von 
be- 
und 
ein, 
f\r 2 e“* 1 ) 
Sei R der kleinste Modul, den einer 
dieser Werthe von t annimrat, so wird 
die Gleichung 1) so lange keine gleichen 
Wurzeln haben, als der Modul von f 
kleiner als R bleibt So lange nun diese 
Bedingung erfüllt ist, bleiben die Wur 
zeln unserer Gleichung 1) eindeutige 
und continuirlichc Functionen von t. 
Das Erstere ist selbstverständlich der 
Fall, da die Mehrdeutigkeit ja eben von 
der Gleichheit zweier Wurzeln herrührt. 
Was das Letztere anbetrifft, so geben 
wir der Grösse t den Werth t 0 , deren 
Modul zwischen Null und R liegt. Ist 
dann 2 0 eine Wurzel der Gleichung 1), 
so hat man: 
= 
n* 0) 
Ist Co c ’ n verschwindend kleiner Zu 
wachs zu 2 # , t 0 der entsprechende von 
i 0 , so ergibt sich: 
z o + £0 ® 
t 0 -j~ t 0 
Man erhält also : 
_ _ *0 + ?o 
f(*o + io) 
*0 & 
f{*0 + C0) f[*0) ’ 
d. h.: 
T _ io + l o lf( z 0) ~ fi z o + io)] 
oder: 
1 - 
fi*0 + io) 
<0 [/■(*0 + io) - /(»o)] 
T - 12 ^ r 
/>0 + i«) 
Da /■(2) continuirlich ist, so kann man 
die Maclaurinsche Reihe gebrauchen; 
wenn man aber das erste Glied nur an 
wendet, ergibt sich: 
, _l-*«r(*o) 
also: 
i„ = 
A* 0) 
/■(2 o) 
io, 
1 -io/•'(»«) 0 
Da der Nenner nicht verschwindet, so 
wird, wenn 2 0 die zu f 0 gehörige Wurzel 
ist, 2 0 —Cq dem Werthe t 0 + r 0 ent 
sprechen und der Unterschied beider 
Wurzeln verschwindend klein sein, wo 
mit unsere Behauptung erwiesen ist. Da 
aber für alle Wurzeln der Gleichung 1) 
bis auf eine f (2) discontinuirlich ist, so 
kann nur diese erstere als eine conti- 
nuirlicbe Function von t betrachtet wer-