Reihe. 
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Reihe. 
/ 
d 6 j / 6 1 
d {x S) = Z 
S— 2 
S H 1 a {n + 1) . .. (ff + s — 2) a?**”^* 1 
b (6 + 1) • • . (6 + s — 2) 
+ X . 
Die Summe rechts ist offenbar 
gleich x a 
1) r 
also 
a(q + l) , . . (a + n+ 1) 
b (6 + 1) .. . b + n — 1) 
wenn man die letzte Gleichung wieder differenziirt; 
»-- t rf(» t + 1 S) = fa' , (s-°(‘ , + 1 ) ■ ■■(■»+ — 
V 6 (6 + 1) . . . (6 + n — 1) / 
Dies ist die Differenzialgleichung, welche unsere Reihe definirt. Zur Bestimmung 
der Constanten ist noch die Bedingung hinzuzufügen, dass für x = 0 auch S = 0 
ist. Erstreckt sich aber die Reihe ins Unendliche und ist x kleiner als Eins, so 
erhält man: 
oder: 
x a b d t {x b 1 S) = 1)], 
d S 
x (1 — x) — + (6 — 1 — a]x) S — a x — 0. 
Setzt man hierin S = uv, so kommt: 
dv - du . 
x (1 — x)u —_ + #(1 — x)v — + (6 — 1 + ax)uv — ax - 0, 
also, wenn man u durch die Gleichung: 
x {1 — x)^-^-^ {b — \ a x) u — 0 
(1 — x) u ^ — a. 
dx 
bestimmt, so ist: 
Die vorletzte Gleichung aber gibt: 
dlgu ax + l — b 1—6 
dx 
also: 
Man hat dann : 
x{\ — x) 
+ 
ci — b + 1 
1 — x 
i i 1 — b /h \fi—b +1 1 — b ~.(t~~b 4" i 
lg u — lg x (1 — x) , u — x (1 — ar) T . 
dv 
dx (1 — a;) u 
r dx 
V =J 
a—6 + 2 t—6 
dx 
.a—6 + 2 1—6' 
(1 x ) 
also, da S — uv war: 
S = ax 1 ~ b ( l- x ) a ~ b + 1 C 
J (1+*)'' 
Nehmen wir jetzt die allgemeine hypergeometrische Reihe: 
s = SL ± x+ +L±j) 1(1+P 
ß ß /»(£ + 1) S(* + l) 
die wir als ins Unendliche fortschreitend betrachten. Sei: 
«Q + 1) . . . (« + s — 1) _ /«\ 
ß{ß + l) . . . Gs + s-rT “ V V 
so ist der Factor von x s ;