Rente. 
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Rente. 
gewöhnlich Gesellschaften sind (Renten 
banken, Wittwenkassen, Lebensversiche 
rungsanstalten), die gleiche Verträge mit 
vielen Personen eingehen, wird hier 
eine Ausgleichung eintreten, da der lan 
gen Lebensdauer einer Person, die kurze 
einer andern gegenüberstehen wird. 
Sollen aus Gleichung 3) die Grössen C 
oder R ermittelt werden, so müssen alle 
(' oder alle R in einer bekannten Beziehung 
stehen. Oft wird diese Beziehung die der 
Gleichheit sein, und man hat dann : 
Findet die Einzahlung C oder die Aus 
zahlung R nur einmal statt, so sind die 
übrigen C oder die übrigen R der Null 
gleich. 
Sind die Zeiträume, in welchen die 
Zahlungen erfolgen, in Gleichung 4) 
gleich, so hat man: 
a 2 — « = 2(ß, — «), 
«3 — « = 3(« l — «), 
ß,.-ß = 2{ß l -ß), 
ß 3 -ß = S(ß l -ß). 
Sei noch ß = 0, d. h. finde die erste Zah 
lung gleich statt, so ist, wenn man wie 
der unter M den Werth der zu empfan 
genden, unter N den der zu leistenden 
Zahlung versteht, und s Zahlungen ge 
leistet, t empfangen würden: 
M 
= c(i + — + - L - + 
N = — (l -f -— 1 
aß \ q ^~ß + q ^~ß) + 
+ O-l) (ß t -ß)) 
und da beide Ausdrücke geometrische 
Reihen sind, so hat man: 
5) M = ——~ } q f r 
q (t-i) («,-«) 
R I- Q S ißl~~ß) _ pi 
6) N = —t? ü 
Was die Anwendung der Formeln 1) 
bis 3) auf Fälle, die den Gesetzen der 
Wahrscheinlichkeit unterliegen, anbetrifft, 
so ist Folgendes zu bemerken. Es ist 
dann den Gesetzen der Wahrscheinlich 
keitsrechnung gemäss anzunehmen, dass 
derselbe Vertrag mit einer grösseren 
Anzahl also mit n Personen gemacht 
werde. Von diesen werden nach Ver 
lauf der ß, (v„ «„ . . . Jahre bezüglich 
m, i» t , m 2 . . . nach den für diesen 
Zweck entworfenen Tafeln, noch in der 
Lage oder verpflichtet sein zu zahlen, 
(also z. B. noch am Leben, oder noch 
arbeitsfähig, wie eben der Vertrag lautet), 
dagegen werden nach ß, ß t , ß 2 . . . 
Jahren p, p lf p 2 . . . in der Lage sein 
die Rente zu empfangen, (z. B. die Witt- 
wen der Gestorbenen, u. s. w.). In den 
meisten Fällen werden für ß, ß t , ß t ... 
die natürlichen Zahlen 1, 2, 3 . . . zu 
setzen sein, insofern in jedem Jahre der 
gleichen eintritt, auch wird die Rente R 
gewöhnlich für jedes Jahr dieselbe sein. 
Es sind also im allgemeinen Falle von 
dem Versicherer vereinnahmt statt der 
Summen C, C lt C, ... bezüglich die 
Summen tnC, m l C t , m 2 C y . . . und 
zu verausgaben die Summen pR, p t R iy 
p 2 R 2 . . . , so dass man hat : 
1.) « = »P + !1iÇ. + !îiS + . . . 
2a) N = Eil + idh +. . , 
qß qß i qß i 
Wenden wir dies zunächst auf ein 
Zahlenbeispiel an. 
Beispiel. Ein 30jähriger Mann 
will sich durch Zahlung einer bestimm 
ten Summe das Recht sichern, vom 50. 
Jahre bis zu seinem Tode eine Rente 
von 200 Thalern zu beziehen. Wieviel 
hat er zu zahlen? 
Wir geben zuerst die gewöhnliche 
Auflösung dieser Aufgabe, jedoch nur 
um das Unzureichende derselben zu 
zeigen. 
Die mittlere Lebenserwartung eines 
30 jährigen Mannes ist für Berlin noch 
26 Jahr, er würde also die Rente nach 
20 Jahren und dann noch sechsmal be 
ziehen. 
Es ist dann da die Einzahlung nur 
einmal und gleich erfolgt: 
a — 0, C\ - C a = . . . = 0, 
also: 
M = C, 
dagegen ist in Formel 6) zu setzen: