Rente. 
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Rente. 
Soll der Wittwe oder irgend einer andern Person aber nur beim Todes 
fall eine Summe verabreicht werden, ein Fall den man als Lebensversiche 
rung zu Gunsten eines dritten bezeichnet, so ist der Ausdruck für M der 
eben entwickelte, wenn man die Grössen P^\ p(0 auf die Person bezieht, zu 
deren Gunsten die Versicherung erfolgt. Die Zahlen p aber beziehen sich dann 
auf die Anzahl der in dem vorangegangenen Jahre Verstorbenen, mit Abzug der 
bereits verstorbenen Versicherten, diese Zahlen sind also: 
P = {P-P o 
>0) 
Pl =(**!-**>) 
.CO 
.(3) 
+ ... 
also; 
m. JV=y 
/pp(0 
' 9 
R (P,P(0 P a pW 
T \—T~ + 
+ . 
Lautet die Versicherung zu Gunsten keiner bestimmten Person, sondern ist über 
haupt beim Tode des Versicherten eine Summe zu entrichten, so spielen die 
Zahlen p(0, p(0 . . . keine Rolle, sind somit in dem obigen Formeln der Ein 
heit gleich zu setzen. 
Es kommen öfter auch gegenseitige Versicherungen vor. D. h. es wird eine 
Summe und ein jährlicher Beitrag von zwei Eheleuten oder andern Personen ein 
gezahlt unter der Bedingung, dass nach dem Tode desjenigen, der am frühesten 
stirbt, der andere von diesem Termine ab bis zu seinem Tode, jährlich oder ein 
mal eine gewisse Summe empfange. Der Werth von M ist ganz wie der obige 
zu berechnen. Der von N aber setzt sich aus Theilen zusammen, da beide bei 
den Kenten betheiligt sind. Der eine Theil ist also bezüglich der in den For 
meln II) und III), der andere ist diesem analog, nur dass die Sterblichkeitsver 
hältnisse beider Personen nach Alter und Geschlecht, d. h. die Zahlen P t , P 2 ... 
und p(0, P(0 . . . bezüglich zu vertauschen sind. Man erhält also, wenn eine 
jährliche Rente beansprucht wird: 
(p _i_p(0 p 4.p( 2 ) \ 
IV. N = Ä r T - + + . . •) 
\ q q 2 > 
2 R (l 
p V 
p, p ( 0 , P 2 P(0 , j 
g: 
(On p pC-O-L p p(0 p »CO, 
+ 
(0 
- + 
oder bei einmaliger Zahlung: 
V. N- 
R fPÇPt + P^] , P t pW + P a P' ,J P 2 P W +P S P 
(0 
+ 
+ 
9 9 a 
2R (P, p(0 _ P 2 p(0 
P \ „ i „ * 
+ 
...) 
Eine viel einfachere Berechnung verlangen die Leibrenten. Das gewöhn 
liche Verhältniss ist dasjenige, dass sich eine Person gegen Einzahlung eines 
Capitals C eine Rente, die bis zu ihrem Tode fortgeht, sichern will. Es kann 
dann als Anzahl der Jahre, durch welche die Rente zu zahlen ist, die mittlere 
Lebenserwartung des Versicherten genommen werden. Ist dieselbe gleich s Jahren, 
so kann man in Formel 6) ß = 0, /9, = 1, ß 3 = 2 u. s. w. setzen, während M das 
einzuzahlende Capital C ist, und man hat: 
s . 
C = R 1 1 . 
9 S_ '(9- 1 ) 
Es ist hier vorausgesetzt, dass die erste Rente sogleich gezahlt wird, sonst wäre 
ß = 1) ß i = 2 • . . zu nehmen.