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auf jeder davon die Länge OB =—■=. ab, so bildet der Punkt B eine geschlos- 
wy M 
sene Oberfläche. Sind x, y, s die Coordinaten von N, so ist: 
cos k = uxYm, cos ß = uy V M, cos y ~ uz^JM, 
also auch: 
Mu 2 {x 2 -\-y 2 1. 
Wenn man aus diesen Gleichungen und dem eben berechneten Werth von Mu 2 : 
n, ß, y eliminirt, so ergibt sich als Gleichung der Oberfläche, welcher den Ort des 
Punktes B bildet; 
1) (B + C) + y 2 (A + C) + z 2 (A + B)-2yzD-2xzE-2xyF = 1. 
Dies ist offenbar ein Ellipsoid, da die Coefficienten von a; 2 , y 2 , z 2 wesentlich 
positiv sind. Wir nennen dies mit Poinsot das Centralellipsoid. Wenn man einen 
Punkt der Oberfläche desselben mit dem Umfangspunkt 0 verbindet, und die Ver 
bindungslinie als Axe betrachtet, so ist die Länge derselben also gleich — 
M 
oder der umgekehrte Werth der Wurzel des zugehörigen Trägheitsmomentes. Die 
Coordinatenaxen sind hier ganz beliebig gewählt ; immer also kann man die Haupt- 
axcn des zu Punkt 0 gehörigen Centralellipsoids als Coordinatenaxen betrachten, 
und in diesem Falle ist D = E = F = 0, also: 
Hmyz = 2mxz — JSmxz = 0, 
d. h. es gibt für jeden Punkt 0 drei auf einander senkrechte Richtungen, für 
welche diese drei Summen oder Integrale verschwinden. Diese Richtungen nennen 
wir auch hier Hauptaxen. Sind zwei der Hauptaxen für Punkt O gleich, so ist 
das Centralellipsoid ein zweiaxiges, und dann ist eine Grade, und jede auf der 
selben senkrechte durch 0 gehende Richtung als Hauptaxe zu betrachten. Sind 
alle drei Hauptaxen gleich, so wird das Centralellipsoid eine Kugel, und jede 
durch deren Mittelpunkt gehende Richtung ist eine Hauptaxe. — Die zu den 
Hauptaxen gehörigen Trägheitsmomente nennen wir „Hauptträgheitsmomente.“ 
Um die Gleichungen der zu O gehörigen Hauptaxen zu finden, braucht man 
also nur die Hauptaxen des durch Gleichung 1) gegebenen Ellipsoids zu bestimmen. 
Es geschieht dies bekanntlich auf folgende Weise. 
Seien A, ¡u v, A t , fi 2 , v,, A a , /u 2 , v 2 bezüglich die Cosinus der Winkel der 
Hauptaxen mit den zuerst gewählten Coordinatenaxen, so sind die Gleichungen 
der ersteren: 
x y z x __ 1! _ i .r _ y _ s 
A /4 v A, f*i Vi A 2 fx 2 v 2 
und es handelt sich um die Bestimmung dieser neun Cosinus. Sind noch |, y, f, 
die auf die Hauptaxen bezogenen Coordinaten eines Punktes A, so ist 
x = A| + A l >7 +A a C» y = / u£ + p l y + / u 2 C, z = y£ + y l t/ + y t ( 
und wenn man diese Ausdrücke in 1) einsetzt, wo wir noch substituiren: 
B C — ct i A C ~ b, A B — c. 
(Es stellen dann offenbar a, b, c die drei Hauptträgheitsmomente vor.) 
1) (ak 2 + b/u 2 + cy 2 - 2Dfiy-2Eky-2Fk/u)^ 
+ {ak 2 -\-bp?-\-cy? — 2Dft l v l — 2FA l r l — 2Fk i /u i ) y 2 
+ (a k 2 + b/.i 2 + cv 2 — 2 D/x 2 v 2 — 2Ek % v 2 — 2Fk 2 /u 2 ) £ 2 
— 2[D(/u l y 2 + E(l l v 2 4-AjvJ -f- F( i u 2 A 1 4-^WjA,) 
— «A 1 A a — — cy l y y ] yC 
— 2[D(/xy 2 + y¡x 2 ) -\-E{kv 2 -\- i^Aj) + F(fxA j + A,u 2 ) 
— a A A 2 — h — c vv 2 \ H 
-2[D(fiy t + y/Ut) + E{ky l + v Ai) + F(/xk l + A/z,) 
— akk v — b/u/u 2 — cvvi\ %y — 1. 
Damit dieses die Hauptaxen seien, müssen die Coefficienten der drei letzten 
Glieder links verschwinden. Es ist also zu setzen;