Rotation. 
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Rotation. 
3) Weitere Entwickelung der 
Gleichungen für die Rotation. 
Die in Abschnitt 1) entwickelten For 
meln 1) und 2) nehmen jetzt die Ge 
stalt an: 
fl Q. 
1) 2Hp = M—(k* + 1 1 ) 
2) 2 Pp = (*> + **)• 
Mk 1 ist das Trägheitsmoment in Bezug 
auf eine der gegebenen parallele durch 
den Schwerpunkt gehende Axe, l der 
Abstand der gegebenen vom Schwer 
punkte. 
Sind die Kräfte, welche auf den Kör 
per wirken, nicht von der Zeit abhängig, 
so ist 2Pp eine Function von ,9- allein. 
2Pp 
Setzen wir dann : M ~ Es 
kann dann eine erste Integration der 
Gleichung 2) vollzogen werden. Es ist 
d ( d *\ /'i AI 
— 1—1=0. Also, wenn man mit 
dt \ dlJ 
2 d9 multiplicirt und integrirt: 
3 > = •«+'*• 
l7 o 
Es ist hier ,9- 0 der Anfangswerth von 9, 
z der der Winkelgeschwindigkeit. Der 
letztere ist bestimmt durch Formel 1), 
welche die Gestalt annimrat: 
Wirken auf Punkt A, dessen Masse m 
sei, die Kräfte x, y, a nach den 3 Axen, 
so ist in die sechs Gleichungen der Be 
wegung noch der Druck auf die Axe 
einzuführen. Wie derselbe beschaffen 
sei, so lässt er sich in drei Kräfte a, 
b, c, welche im Anfangspunkte parallel 
den Axen und in drei Paare A, B, C, 
deren Axen den Coordinatenaxen pa 
rallel sind, zerlegen, und diese sind mit 
entgegengesetzten Vorzeichen in die 
Gleichungen der Bewegung mit aufzu 
nehmen. 
Man erhält auf diese Weise: 
= 2mX + M% t 2 + My 
dz 
d t 
dr 
4) 
211p- Mt (ft 2 +/ 2 ). 
2{Tip) ist das Moment der im Anfang 
wirkenden Stosskräfte. Durch eine aber 
malige Quadratur wird das Problem 
vollständig gelöst. Von den sechs Glei 
chungen, welche die Bewegung eines 
festen Körpers bestimmen, wurde hier 
nur eine gebraucht. Aber auch die fünf 
andern werden nöthig, wenn es darauf 
ankommt, den Druck, oder falls Stoss 
kräfte wirken, den Stoss gegen die 
Drehaxe zu berechnen. 
Sei r der Abstand eines Punktes A 
von der Drehaxe, die wir jetzt als Axe 
der a betrachten, und bezeichnen wir 
mit z die momentane Winkelgeschwin 
digkeit, so ist: 
d9 
x — r cos 9, y —r sin 9 ; — = r. 
also: 
d l x 
— — x r 1 
dz 
y Tt' 
d i y . , dz 
3T.=r.-ä"*+*7.- 
b = 2inY + Mrjt 2 - il/£ — 
c = 2 rn Z, 
|, y, £ sind die Coordinaten des Schwer 
punktes. 
d z 
A — 2m {y Z — sY) — z 2 2myz + — 2mxz 
B = 2m{zX — xZ)+ r' i 2mxz+ -j- 2myz. 
Es wird aber C = 0, da dieser Ausdruck 
das eine Paar ist, dessen Axe die der % 
ist, und sich hierfür nach Gleichung 2) 
Null ergibt. 
Die Kräfte a, b, c und die Paare A, 
B bringen also den Druck auf die Axe 
hervor. 
Es fragt sich jetzt, in welchen Fällen 
dieser Druck verschwindet. 
Es sei die Axe der z eine Haupt- 
axe in Bezug auf den Anfangspunkt der 
Coordinaten, so hat man 
2mxz — 2myz— 0. 
Wirken ferner keine continuirlichen Kräfte, 
so ist auch X — Y = Z — 0, mithin also 
C = 0 und A — ß - 0. Es wirken also 
nur die auf der Drehaxe senkrechten, 
durch den Anfangspunkt gehenden Kräfte 
a und b. Wenn nun die Axe der s 
nicht fest wäre, sondern nur der Anfangs 
punkt, im Anfänge aber eine Drehung 
um die Axe der z erfolgt, so könnte 
diese nur durch einen Druck auf die 
Drehaxe geändert werden, welcher durch 
einen nicht festen Punkt derselben gehen 
muss. Es haben also die zu einem Punkte 
gehörigen Hauptaxen die Eigenschaft, 
dass wenn dieser Punkt fest, und im 
Anfänge eine Drehung um eine der 
Hauptaxen erfolgt, dabei aber keine con- 
tinuirliche Kraft wirkt, sich die Bewe 
gung um diese Hauptaxe gleichmässig