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in jedem Falle gestattet ist, wenigstens 
annimmt, dass deren Einwirkung auf alle 
Körper des Sonnensystems dieselbe ist, 
welche also, wenn man die relative Be 
wegung dieser Körper zu einander be 
trachtet, ausser Acht bleiben kann. 
Nimmt man ferner an, dass der Schwer 
punkt des Sonnensystems keine Anfangs 
geschwindigkeit hat, d. h. dass entwe 
der niemals Massen, die nicht dauernd 
dem Sonnensystem angehören auf das 
selbe, oder doch nur so eingewirkt ha 
ben, dass sie allen Funkten des Systems 
eine gleiche Geschwindigkeit ertheilt 
haben, so ist zu setzen: 
a =z b = c — 0, 
und dann ist der Schwerpunkt des Sy 
stems als fest zu betrachten. 
Wir fügen noch zwei Sätze hinzu, die 
sich auf die Schwerpunkte fester Körper 
beziehen. Denken wir uns die Axen 
eines Systems durch den Schwerpunkt 
gelegt, und seien p> pi, p-, . . . die Ent 
fernungen der Punkte m, ra„ m i ... 
von demselben, a, ß, y, « t , /3,, y t ... 
die Cosinus der Winkel, welche die Li 
nien p, Q t , p a . . . mit den Axen ma 
chen. Es ist dann: 
x=qcc, y = p/3, z = oy, g = y = C = 0. 
Die Gleichungen 1) geben also: 
2 {mga) = 0, 2 (mp/3) = 0, 2 (mqy) = 0. 
Betrachtet man mp, m l p 1 . . . als Kräfte, 
welche das System angreifen, so hat 
man den Satz: 
„Ein festes System ist in Gleichgewicht, 
wenn jeder Punkt von einer nach dem 
Schwerpunkt gerichteten Kraft ange 
griffen wird, welche jede den Massen 
der Punkte und deren Entfernung pro 
portional ist.“ 
Dieser Satz bleibt offenbar noch richtig, 
wenn wir uns statt der Punkte feste 
Körper von den Massen m, m l . .. den 
ken, und unter p, p t die Entfernungen 
der Schwerpunkte dieser Körper vom 
Schwerpunkte des ganzen Systems. 
Wenn man noch die Quadrate der 
letzten Gleichung addirt, und unter (pp') 
den Winkel zwischen pp' versteht, wo 
also ist; 
cos (pp') = ««' + /3/3' -f- yy', 
so erhält man : 
2m 2 p 2 -j-22'mm'pp' cos (pp') — 0, 
oder, wenn r die Entfernung zweier 
Punkte in und m| oder der Schwerpunkte 
zweier Körper m und m l ist, so hat man: 
r 2 = p 2 -|- p' 2 — 2pp' cos (pp') 
also: 
2m 2 p 2 -f- 2mm'(o 2 -f- p' a — r a ) = 0. 
Da man nun hat: 
mp 2 (m +mj + m a +...) = Mmg 2 , 
so ist: 
M2ihq 2 — 2mm'r 2 , 
Sind alle Massen m unter einander 
gleich und n ihre Anzahl, so ist: 
2r 2 ~n2Q 2 . 
Sei jetzt R die Entfernung des beliebig 
zu nehmenden Anfangspunktes der Coor- 
dinaten vom Schwerpunkte, a, b, c die 
Cosinus ihrer Winkel mit den Axen, so 
geben die Gleichungen 1) : 
MRa ~ 2 m (ja, MRh — 2moß, 
MRc — 2ni(jy, 
also, wenn man die Quadrate dieser 
Gleichungen addirt: 
in-R 2 = 2m'q 2 -f- A'mm'pp' cos (pp'), 
oder ganz wie eben gezeigt wurde: 
M‘ l R 2 = M2m p J — 2mm'r 2 , 
hieraus folgt sogleich: 
„Ist die Entfernung R des Schwer 
punktes eines festen Systems von einem 
festen Punkte constant, und dieses Sy 
stem ändert in übrigens beliebiger Weise 
seine Lage, so ist die Summe der Pro 
dukte der Massen in die Quadrate der 
Abstände ihrer Schwerpunkte von diesem 
festen Punkte constant.“ 
Denn da R und r constant sind, muss 
auch 2mQ 2 constant bleiben. 
Ist R = 0, so ist 2mp 2 ein Minimum. 
Also: 
„Die Summe der Massen in die Qua 
drate der Entfernung ihres Schwerpunktes 
von einem gegebenen Punkte ist ein 
Minimum, wenn dieser Punkt der Schwer 
punkt ist.“ 
Wir knüpfen hieran noch das Guldini- 
sche Theorem, welches eine Beziehung 
des Inhaltes der Rotationsflächen und 
Rotationskörper zu den Schwerpunkten 
ihrer Erzeugungscurven und Erzeugungs 
ebenen angibt. 
Selbstverständlich kann man nämlich 
eben so gut von den Schwerpunkten von 
Linien und Flächen, als von denen von 
Körpern sprechen, da jedes System ma 
terieller Punkte einen Schwerpunkt hat. 
Wenn, wie hier, nichts Anderes fest 
gesetzt wird, wollen wir ferner immer 
annehmen, dass das betrachtete System 
homogen sei. Der Schwerpunkt ist dann 
völlig bestimmt, wenn man die geome-