Schwerpunkt 
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Schwerpunkt. 
wo H, h die Entfernungen der Schwer- wo dieser Abstand l in Bezug auf das 
punkte beider Kreise vom Mittelpunkte, Segment gesucht ist. Also: 
k dieselbe Grösse in Bezug auf das Ring 
stück ist. Nun hat man, wenn A, 8 Sehne 
und Bogen des grossem, «, s die des 
kleineren Kreises sind: 
± - a H->— h~^ 
8 “T* » S ’ 15 S '■ 
f r'A - % k'A = l (rS — kA) 
r* — fc 1 
l=iA ——~. 
* rS—kA 
Offenbar aber ist: 
A 2 
also: 
also wenn 
*(*•»-?*) = |-ö (»■*-?•) 
7. _ >• +r g +>« 
r+ ? ' 
- hi — 
4 ’ 
rS-*A 
der Flächeninhalt des Segments ist: 
A s 
l = 
12 ff 
Auch der Schwerpunkt eines Kreis 
segmentes lässt sich durch diese Be 
trachtungen bestimmen. Für die parabolische Fläche ist: 
Sei h die Höhe eines Dreiecks, wel- y 1 =2px. 
ches das Segment zum Sector ergänzt und r — 
gelten die obigen Bezeichnungen im Jydx = %y2px i . 
Uebrigen, so sind die Flächeninhalte von . 
Sector, Dreieck und Segment bezüglich: f" xydx = ]/2p Cx% dx = 
uS kA (rS - kA) ' /5 
2 ’ 2 2 i ^ y 1 dx — p C x dx — , 
und die Abstände der Schwerpunkte vom ‘ ■' 
Mittelpunkte: 
woraus sich ergibt: 
1 = 1®, '7 = 1-2/. 
Für die Cycloide ist: 
a — y dx ¡2a — y 
y 
/< 
r 
x = Y2ay — y 1 « arc cos — 
F - f xdy = j'dy ]/2 ay — y* = {y - a) —' : ~ arc cos —. 
fxdy YW^ 1 ~J' d y & a y — 7/ 1 ) -f a J*arc cos -—- dy ]/2 ay — y 3 . 
Das erste Integral ist gleich ay 
integrirt: 
a — 
Das zweite gibt, wenn man theilweise 
tt/ 4 » - y ‘-f fl y2a,J - * 
n — y 10/ — « 
:: arc COS : 
a L 
_J’ | (y ~ a ) dy 
— a)Y2ay — y‘ i « 2 a — y 
——- -—|- — arc cos 9 
U Z d 
] 
+ -g- arc cos 
a-y 
dy 
• + 
Y2ay — y‘ 
(y — aV2ay — y i a — y , «* / « — y V 
= V ' ~ CM — + T l arc cos -2 ) 
f + i(—-?)’+ C 
- (y — a ) V 2a y-y a 
a — y 
arc cos 
+ t(” ccos T + |+ C - 
(Es ist hier in den allgemeinen Formeln £ und y vertauscht.) So erhält man: