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Schwerpunkt. 
440 
Schwerpunkt. 
f yds == 2y ^ 2fly , fxyds = Y 2 a xr/ - ij'r 
j*y- dx = — %y (2a — I/)' — T 4 j (2a — t/A + G < 
also: 
^«3/ ds=z%xy Y^ay + j j ]/2« (3j/ + 4a) (2« — 3/) 1 + E. 
, C~— T 4 j ]/2a s . 
Fängt man am Scheitel an, so ist: 
64 a 
E~- 
45 
Gehen wir jetzt zu Körpern über. 
Wie bei der Oberfläche eines Cylin 
ders oder Prismas, lässt sich zeigen, 
dass der Inhalt eines solchen seinen 
Schwerpunkt in der Mitte derjenigen 
Graden hat, welche die Schwerpunkte 
seiner Grundflächen verbindet. 
Jede Pyramide und Kegel hat 
ihren Schwerpunkt in derjenigen Graden, 
welche die Spitze mit dem Schwerpunkte 
der Grundfläche verbindet. Es folgt 
nämlich leicht, dass die Stücke, in welche 
die Pyramiden durch Ebenen parallel 
der Grundfläche getheilt werden, alle ihre 
Schwerpunkte in dieser Linie haben. 
Bei der dreiseitigen Pyramide 
kann man von jeder der vier Spitzen 
aus eine solche Linie construiren und 
ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Schwer 
punkt. 
Sind (Fig. 887) NA und MD zwei sol 
cher Linien, (S ihr Durchschnitt, und 
Fig. 387. 
oder AN. Seine Entfernung von jeder 
Basis beträgt ^ der Höhe.“ 
Da nun alle Pyramiden oder Kegel 
sich durch Linien von der Spitze in 
dreiseitige Pyramiden (beim Kegel sind 
es unendlich viel) zerlegen lassen, „so 
ist bei allen die Entfernung des Schwer 
punktes von der Grundfläche gleich £ 
der Höhe, während er in der Verbin 
dungslinie der Spitze mit dem Schwer 
punkte der Grundfläche liegt.“ 
Was die abgestumpfte Pyramide 
oder den abgestumpften Kegel anbetrifft, 
so sei h die Höhe derselben, G, g die 
Grundflächen, k die Höhe der als voll 
ständig gedachten Pyramide. Zunächst 
ist klar, dass der Schwerpunkt in der 
Linie liegt, welche die Schwerpunkte 
beider Grundflächen verbindet. Wir 
suchen den Abstand l desselben von 
der, den Grundflächen parallelen Ebene, 
welche durch die Mitte der Höhe geht, 
dann sind die entsprechenden Abstände 
der vollständigen und der Ergänzungs 
pyramide bezüglich gleich: 
Jt_ h h — h . k 
T ~ T’ 
Es ist aber: 
it 
^ _ k-\- h 
4 + 2 ~ 4 ‘ 
, also k- . 
VG Yg~Y g 
zieht man AE durch 31, und DE durch 
N, so ist EM = { EA, EN = £ DD, also 
31N parallel AD, und 3IN={ AD. Dreieck 
MNS tn DAS, also MS = \DS, also 
3IS = {MD. 
„Die Entfernung des Schwerpunkts von 
der Spitze beträgt | der Schwerlinie DM 
also die Entfernungen bezüglich gleich: 
A zVo-Vc A 2 Vö-Yg 
4 Yo-Yg' 4 Yg - Yg ’ 
Die körperlichen Inhalte dieser Pyrami 
den aber sind: 
{ Gk, {g{li—h), 
also bezüglich gleich: 
t hfG* t hYp 
* Yo-Ys * YG-Yg 
und der der abgestumpften Pyramide: