Schwerpunkt. 
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Schwimmen. 
Für das Paraboloid seien: 
y 2 = 2 px, z 2 = 2qx 
die Gleichungen der beiden Hauptpara 
beln. Suchen wir das Segment, welches 
durch eine Ebene senkrecht auf der 
Hauptaxe abgeschnitten wird, so befindet 
sich in dieser Axe der Schwerpunkt, und 
man hat: 
F£ = 2n Ypq C “x'dx = x \ 
,ß 0 o 
also: 
'C —— 2 /v» 
± 
Für das Ellipsoid ist: 
haben, die nur von der Höhe ab- 
hängt. 
Wird nun ein Körper ganz oder zum 
Theil eingetaucht, so muss auf ihn der 
jenige Druck wirken, der auf die Flüs 
sigkeit gewirkt hat, welche dieser Kör 
per verdrängt, und da dieser dem Druck 
gewichte der verdrängten Flüssigkeit das 
Gleichgewicht hält, so ist er diesem gleich 
aber von unten nach oben gerichtet. 
Hieraus folgt, dass auf einen eingetauch 
ten Körper zwei Kräfte wirken, sein Ge 
wicht in seinem Schwerpunkte, und ein 
Druck gleich dem Gewicht der verdräng 
ten Flüssigkeit, aber in der der Schwere 
entgegengesetzten Richtung und im 
Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit. 
Dies gibt den archimedischen Satz; 
also; 
a 2 ^ b 2 ^c 2 ~ ’ 
F ~~~ f ^ ~ x2 ) dx ’ 
j'(a 2 —x 2 )xdx, 
j (a J — x 2 ) xdx 
£ ~ ~? i ; 
/ (a 2 — x 2 ) dx 
f ist also von b und c unabhängig. 
Fängt das Segment im Mittelpunkt an, 
so ist: 
6 a 2 — 3x* 
* “ * 12a 2 -Tx‘ ’ 
und für x = a, a. 
Schwimmen (Hydrostatik). 
1) Allgemeines. 
III. Ein eingetauchter Körper 
verliert soviel an Gewicht als die 
verdrängte Flüssigkeit beträgt. 
Ist die Flüssigkeit heterogen, so ist 
der verdrängte Theil in irgend einer 
Höhe immer als von gleicher Dichtigkeit 
mit der umgebenden zu denken. 
IV. Ein schwimmender Körper 
ist in Gleichgewicht, wenn er 
so tief eintaucht, dass die ver 
drängte Flüssigkeit seinem Ge 
wicht gleich ist, und ihrSchwer- 
punkt mit dem des Körpers in 
einer vertikalen Linie liegt. 
Denn nur unter dieser Bedingung he 
ben sich beide Kräfte auf. 
Hieraus lässt sich leicht die Schwimm 
tiefe des eingetauchten Körpers berechnen. 
Sind G, y bezüglich die specifischen 
Gewichte des eingetauchten Körpers und 
der Flüssigkeit, V das Volum des erstem, 
v das der verdrängten Flüssigkeit, so 
ist offenbar; 
Ein Körper schwimmt in einer Flüssig 
keit, wenn er ganz oder zum Theil in 
dieselbe eintaucht ohne unterzusinken. 
Der Druck den die Flüssigkeit auf seine 
Oberfläche ausübt, muss also seiner 
Schwere das Gleichgewicht halten. 
Um diesen Druck zu finden, gehen wir 
von folgenden bekannten Sätzen der 
Hydrostatik aus. 
I. Eine Flüssigkeit in einem 
Gefässe, welche nur von der 
Schwere angegriffen wird, hat 
im Falle des Gleichgewichts 
eine horizontale Oberfläche. 
VG = vy. 
Bei spiel e. 
Sei ein Prisma oder Cylinder ge 
geben, der mit der Grundfläche einge 
taucht ist, F seine Grundfläche, h seine 
Höhe, y die Höhe bis zu welcher er ein 
taucht, so ist: 
FhG = Fyy also rj = —. 
y 
Für eine mit der Spitze einge 
tauchte Pyramide ist, wenn noch 
(f der horizontale Schnitt ist, bis zu wel 
chem sie eintaucht: 
II. Ist die Flüssigkeit hetero 
gen, so wird sie im Falle des 
Gleichgewichts in gleichen ho- , 
rizontalen Schichten gleicheDich- as0 
tigkeit, also eine Dichtigkeit 
FhG = finy aber — 
V 
h s G - y 2 y und y ■= 
h 2