Schwimmen. 
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Schwimmen, 
:'*l ,*§ , 
m 
Sei die Pyramide mit der Basis ein 
getaucht, so ist das Volum des einge 
tauchten Stückes gleich; 
hF t](fi 
T""3 ’ 
woraus sich ergibt; 
hFG = hFy 
Fig. 388. 
oder 
wy 
hF (y — G) - 
oder wenn man wieder setzt: 
h s (y — G) — y 3 y also t] — h |/— . 
Für die Kugel mit Radius r ist das 
Volum des verdrängten Flüssigkeits- 
Segmentes : 
also: 
^ (Br-,), 
4 r*G = rfy (3 r — t]). 
Dies ist eine cubische Gleichung zur 
Bestimmung von y. 
Möge jetzt ein Rotationseyli nder 
mit horizontaler Axe eingetaucht sein, so 
ist sein Inhalt gleich nr 2 h; sei g die Tiefe 
der Eintauchung, n derjenige Bogen der 
Grundfläche in Graden, welcher sich 
unter Wasser befindet, so ist der einge 
tauchte Theil des Prismas gleich h, S, 
wenn S das eingetauchte Segment der 
Grundfläche ist. Aber: 
s= 3«ö -ir * ,n “’ 
also: 
nr'hG = - 4»‘ 2 sin yh. 
oder: 
/ nee sin «\ 
nG ~ y \36Ö~~1T/’ 
hat man aus dieser transcendenten Glei 
chung a berechnet, so erhält man; 
9 = r^-coB-j). 
Möge jetzt ein grades dreiseitiges 
Prisma mit horizontaler Kante 
eingetaucht werden. Es kann dasselbe 
mit einer oder zwei Kanten eintauchen 
In beiden Fällen ist die Höhe des Prisma 
gleichgültig. Betrachten wir zunächst 
den ersten Fall. 
Sei ABC (Fig. 388) die Grundfläche, a, 
b, c die Seiten, C die eingetauchte Spitze, 
DE der Durchschnitt des Spiegels der 
Flüssigkeit. Halbiren wir AB und DE 
bezüglich in F und J, und sei Winkel 
ACF = ee, BCF = ß, es muss dann sein: 
G • ABC = y • DEC, 
und überdies Linie FJ, welche parallel 
der Verbindungslinie der Schwerpunkte 
ist, auf DE senkrecht stehen; d. h. es 
soll DF = FE sein. Wir setzen noch: 
CD = x, CE = y, CF = f, 
und erhalten: 
G • ab = y • xy 
und 
x 2 — 2xf cos ee = y 2 — 2yfcos ß, 
woraus sich durch Elimination eine Glei 
chung vierten Grades ergibt: 
1) x* — 2 fx t cos ce -f- 2rabfx cos ß 
q — r 2 a 2 b 2 — 0, 
wenn -— = r ist. 
Y 
Da das letzte Glied negativ ist, so hat 
diese Gleichung jedenfalls zwei reelle 
Wurzeln eine positive und negative, von 
denen nur die erstere in Betracht kommt. 
Die beiden andern Wurzeln sind gleich 
zeitig reell oder imaginär; ist ersteres 
der Fall, so haben sie, da das letzte 
Glied negativ ist gleiche Zeichen. Sie 
können aber nicht negativ sein, weil, 
wenn x v — x,, —x t , —Xi die vier 
Wurzeln sind, sein müsste: 
> *2 +*3 +*4 
wegen des negativen Coefficienten des 
zweiten, und 
x 2 x i x l > -f x l x 1 x i -f x^x^x^ 
wegen des positiven des dritten Gliedes, 
also: