Schwimmen. 
Schwimmen. 
RST = ,9, also der Inhalt des Prisma 
gleich 
R T cos Sdl = u sin 9 cos Jdk, 
oder mit Vernachlässigung der Grössen 
dritter Ordnung ¡uSdl. Um 2zdf für 
dies Prisma zu erhalten, muss der In 
halt desselben mit dem der Mitte von 
RT entsprechenden Werthe von z, d. h. 
mit £ + i m sin 9 £m9 multiplicirt wer 
den; wir erhalten also: 
u$dk (C + 4- m'O- 
Für die Elemente von JNÄL' gilt Glei 
ches, nur ist die Ordinate des mittleren 
Elementes gleich £ — £m>9, so dass man 
erhält, da dies entsprechende Integral 
ahzuziehen ist: 
— ufrdi[ (£ — jii.V). 
Es muss also der Ausdruck: 
m9<ü (£-f ¿m9) 
über die ganze Fläche ATSBJ integrirt, 
dabei aber u im Theile JNB als positiv, 
im Theile JNA als negativ betrachtet 
werden. Weil nun JN durch den Schwer 
punkt von ATSBJ geht, ist j udX = 0, 
und setzen wir: 
/ 
u^d). — bh a , 
so ist dieser Ausdruck offenbar das Träg 
heitsmoment der Fläche ANBJ in Bezug 
auf JN, und der zugehörige Theil von 
22dm Zdz — — ggbh 2 J 2 . 
Durch Zusammenfassung aller Theile 
kommt also: 
2v 2 dm — —</p6£ 2 
— g() (bh 2 -j- a V) ,9 2 -j- const. 
Es ist nämlich M = Vq (da das Ge 
wicht der in der Gleichgewichtslage ver 
drängten Flüssigkeit dem des Körpers 
gleich ist) und der Ausdruck 2ggVa wurde 
mit in die Constante aufgenommen. 
Nehmen wir an, a sei positiv. 
Da die Anfangswerthe F£9 sehr klein 
sind, so ist auch die Constante sehr 
klein. Da die linke Seite positiv ist, so 
müssen die beiden ersten Glieder der 
rechten Seite also eine Summe gehen, die 
kleiner als constant, also folglich auch 
klein ist, und somit werden 9 und £ 
stets sehr klein bleiben. D. h.: 
Das Gleichgewicht ist stabil, 
wenn der Schwerpunkt des Kör 
pers tiefer liegt als der der in 
derGleichgewichtslage verdräng 
ten Flüssigkeit. 
Sei nun a negativ, so wird unsere 
Gleichung: 
2v 2 Jm = — <7p6£ 2 
— gg (bh 2 — aV) 9 2 -f- const. 
Wird nun der Goefficient von 4P po 
sitiv; so können ,9 und £ sehr gross wer 
den, obgleich constant nur klein ist, 
bh 1 hängt ab von der Richtung von JN. 
Dreht man nun JN um den Schwerpunkt 
C der Fläche ANBJ, so wird bh 2 irgend 
einen kleinsten Werth annehmen, und 
ist für diesen bh 2 — aV positiv, also: 
bh 2 
a < y ’ 
so bleiben 9 und £ immer sehr klein. 
Also: * 
Auch dann noch kann das 
Gleichgewicht stabil sein, wenn 
der Schwerpunkt des Körpers 
höher als der der verdrängten 
Flüssigkeit liegt. Dieser Fall 
findet statt, wenn das Pro 
duct aus der Entfernung beider 
Schwerpunkte in das eingetauchte 
Volum kleiner ist als das klein 
ste Trägheitsmoment, welches 
die Schnittfläche des Körpers 
mit der Wasseroberfläche in Be 
zug auf alle durch ihren Schwer 
punkt gezogene Graden hat. 
Diese Betrachtungen sind von Duhamel. 
Er ersetzt durch sie die älteren Theo 
rien, welche auf die Bestimmung eines 
Punktes, des Metacentrums, hingerichtet 
sind, von dem die Stabilität bezüglich 
Labilität des Gleichgewichts abhängen 
sollte, je nachdem dieser Punkt oberhalb 
oder unterhalb des Schwerpunktes des 
eingetauchten Körpers lag. Das Falsche 
dieser Betrachtungen lag darin, dass hei 
der Bestimmung des Metacentrums ein 
Fehler gemacht wurde, übrigens aber 
sich ein solcher Punkt nicht von vorn 
herein angeben lässt. 
Uebrigens ist auch gegen die Duha- 
mel’schen Betrachtungen ein Einwand ge 
macht worden, dass nämlich nicht auf 
die Bewegung des Wassers, und den da 
durch verminderten Druck desselben Rück 
sicht genommen sei, 
3) Von den Schwingungen 
schwimmender Körper. 
Wir nehmen an, dass der in eine 
homogene Flüssigkeit getauchte Körper 
sich symmetrisch gegen eine Vertikal 
ebene verhalte. Er werde jetzt aus seiner 
Gleichgewichtslage entfernt, jedoch •so, 
dass die Ebene der Symmetrie dieselbe