Schwingungen. 
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Schwingungen. 
Seien ferner u', v', io f die Aenderungen der Coordinaten dieser vier Punkte 
nach der Deformation, u, v, w die des Punktes N, es ist dann ic' — w — 0 und 
auch y — 0. Ist ferner wieder r die Entfernung eines der vier Punkte von N, 
q der Zuwachs derselben nach der Deformirung, so ist: 
r 2 = (jx r — x) a -f- (y r —y) 2 + (s* — z) 2 
vq = (x' — x) (V - u) -f- (y r - y) (v' - v). 
Es wird also r für alle vier Punkte gleich sein, nämlich: 
r = Yh 2 + k 2 + T 2 , 
ferner ist: 
u' — U J 
V f — V J 
r Q 
— (x)h {z /) 
wl (x-j- h) + cohz 
iuklx 
X* 
CoJi (z "4” 
wl (x “4" Ji) tohz 
— coklx 
i 
3 
— wl(x + h) -f- u)hz 
— (oklx 
Kt 
— Cü/c(z — l) 
— wl {x -f- h) + cohz 
+ coklx 
Die Werthe von q sind also alle vier 
bis aufs Zeichen gleich, und stimmen auch 
die Zeichen bei N l und iV 4 sowie bei 
N 2 und N 3 überein. Die Elasticitäts- 
kraft, welche auf Punkt N ausgeübt 
wird, ist Qf(r\ also für alle Punkte bis 
aufs Zeichen übereinstimmend. Ihre 
Richtung ist die von NN V , NN 2 , NN 3 , 
JViV 4 , die Cosinus dieser Richtungen mit 
den Axen sind bezüglich 
x r — x y' — y z' — 2 
Der erste dieses Ausdrucks ist für alle 
vier Punkte gleich, also die entsprechen 
den Componenten der Elasticitätskraft, 
sind bei N t und iV 4 dieselben, bei N 2 
und N 3 die entgegengesetzten. Die 
zweiten Cosinus haben bezüglich für iY t , 
N 3 und N 2 , iV 4 negatives Zeichen, also 
die Componenten sind bei iV-j, N 2 positiv, 
bei N 3 und iV 4 negativ, die dritten Co 
sinus endlich haben für N lt N 2 positives, 
für N 2 , iV 4 negatives Zeichen, so dass 
die Componente für N t und N 3 positiv 
für N 2 und iV 4 negativ werden. Das 
Resultat ist also, da der Körper homogen 
ist, also die symmetrisch liegenden Punkte 
in gleicher Weise mit Masse angefüllt 
sind: dass die Componenten der Elastici- 
tätskräfte auf Punkt N und also auf 
den ganzen Cylinder wegfallen, für eine 
Ebene, die yz parallel ist, und in einem 
Punkte von y — 0 ist. In diesem Falle 
ist also A — B = C = 0. 
Legen wir jetzt durch Punkt M einen 
unendlich dünnen Cylinder parallel der 
Axe der z, so hat ein beliebiger Punkt 
N desselben die Coordinaten x, y, z, 
betrachten wir nur die Einwirkung von 
JV, und N a , so ist die Elasticität gf(r) 
für beide wieder gleich aber entgegen 
gesetzt, nämlich bezüglich gleich + o)klx, 
der Cosinus des Winkels von r mit der 
Axe der z gleich —, also derselbe. Die 
r 
z parallelen Componenten heben sich 
also, d. h, es ist C 2 = 0. 
Kehren wir jetzt zu der allgemeinen 
Form der Grössen A, B, C, B x , C,, C, 
zurück, welche in Gleichung 5) alle bis 
auf die Coefficienten gegeben waren. 
Betrachten wir zuerst die Componente A 
der elastischen Kraft, welche der Axe 
der x gleichgerichtet und auf einer der 
yz parallelen Ebene wirkt, so werden in 
dem Ausdrucke von A, v und w sich 
wegen der Homogenität des Körpers 
ganz gleichmässig verhalten, es werden 
also — — gleiche Coefficienten haben, 
dy oz 
die du du du, 
eben so -r—I- und -r—h —.; 
dx dz dx oy 
Aehnliche Beziehungen finden für die 
Ausdrücke B v C\ statt, und zwar sind 
in dem ersten Ausdrucke z. B. die Coef 
ficienten von und -r- gleich. Andrcr- 
ox oz 
seits aber ist, da man die Axen vertau 
schen kann, ohne dass die Beziehungen 
du 
sich ändern, die Coefficienten von — 
OK 
in A, von in H, und — in C„ gleich, 
dy °y 
und ähnliche Beziehungen ergeben sich 
für die andern Coefficienten. Was die 
Ausdrücke B, C, C, anbetrifft, so ist 
z. B. C gleichzeitig Componente zweier 
elastischen Kräfte, die bezüglich auf den 
xz und xy parallelen Ebenen ausgeübt wer 
den, es werden also v und io sich hier gleich 
verhalten. Auf diese Weise erhält man