Schwingungen. 
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Schwingungen, 
Diese Verlängerungen A und s gibt die 
Erfahrung und durch die Werthc dieser 
Grössen sind A und /x bestimmt. 
Poisson setzt aus theoretischen Grün 
den A — /u. Es würde dann sich ergeben: 
A — , t — 3- 5 
o ¡x 
jedoch bestätigt dies die Erfahrung nicht. 
Werthheim setzt k = 2fx, in diesem 
Falle kommt: 
Diese Relation ist jedoch noch ungewiss. 
Der Ausdruck i wird Elasticitäts- 
coefficient genannt. 
C) Ueber die Arbeit der Elasti- 
cität. 
Ein Körper, der wenigstens in drei 
Punkten befestigt ist, soll einem Drucke 
oder einer Zugkraft unterzogen werden, 
es lässt sich dann zeigen, dass die dop 
pelte Arbeit vom Anfangspunkt dieser 
Einwirkung, bis dass die Deformation 
ihr Ende erreicht hat, gleich ist dem 
Producte der Druck- oder Zugkraft in 
die Projection der Verschiebung des An 
griffspunktes auf dieselbe. 
Denn sei z. B. der Körper ein elasti 
scher Eaden von Länge l und Quer 
schnitt ff, der zu irgend einer Zeit die 
Spannung f und die Verlängerung a er 
leidet ; hat « dann die obige Bedeutung, 
so ist offenbar: 
« (f ff 
~T = — oder f = —a, 
l ff sl 
also: 
fda = ^~ = ^aF, 
./ 0 h 
wo F die schliessliche Spannung, a die 
schliessliche Verlängerung ist. Da der 
Ausdruck links nun die Arbeit vorstellt, 
so ist unser Satz erwiesen. 
Dieser Arbeit giebt nun Clapeyron einen 
zweiten Ausdruck, welcher einen wichti 
gen, den Clapeyron’schen Satz, liefert. 
Sind X, F, Z der Null gleich, so 
hat man: 
(L4 dB dC M dB, dC, _ 
dx dy dz ’ dx dy dz ’ 
dC_ d(\ 
dx dy 
Diese Gleichungen multipliciren wir bezüglich mit u, v, io und alle drei mit dxi 
dy, dz addiren sie, und integriren über den ganzen Körper. Betrachten wir z, B. 
das dreifache Integral: 
j' udx dy ds, 
so nimmt dasselbe durch theilweises Integriren den Werth an: 
/ 
Au dx dz — 
dx dy dz, 
wovon sich das erstere über die Oberfläche, das letztere über den körperlichen 
Raum erstreckt. Sind nun to ein Element der^Oberfläche, a, ß, y die Cosinus der 
Winkel der Normale desselben mit den Axen, so ist: 
dy dz — aco. 
Behandelt man die andern Integrale unserer Summe ebenso, so ergibt sich ein 
Aggregat von Integralen, die sich über die Oberfläche und eins von solchen, die 
sich über den Körper erstrecken. Das erstere ist: 
J' (Au dy dz -f- Bu dx dz + Cu dx dy) -f- J {Bv dy dz -\- B dx dz -j- C dx dy 
+ f (Cu> dy dz + C,io dx dz -f- Cyic dx dy) — 2um (Aa + Bß -f- Cy) 
+ 2vco (Bet + B v ß -f C t y) + Aiüw(C« + C v ß + C 2 y), 
wofür sich mit Hülfe der Gleichungen 4) des vorigen Abschnittes ergibt: 
Itx) (Uu + Vv + Ww). 
Die Summen 2 erstrecken sich über die ganze Oberfläche. Es ist somit: 
C F du du „ dw ~ /dk> dw\ 
1) 2a>{Uu+Vv+Ww)=J dxdydz\A^ c +Bv-§- y + C ^ + C v\ji + -^) 
„ /dw , du\ „ {du d v\ 
+ B L\te + rz) +B \fy + Tx)- 
Ist der Körper homogen und von constanter Elasticität, so sind den Ausdrücken 
B ... die im Abschnitte 1) gefundenen Werthe zu geben. Diese geben: