Schwingungen. 
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Schwingungen. 
A 4~ ^ t ~f~ Ca 
3A + 2 \u 
dj: 
C. 
A-Atf 
“äü“’ 
du P t — AS 
'S—h 
oy 
dv die 
dz'dy u 
dm du _ B v 
dx ^ dz fi 
2u 
du 
dm 
dz 
C 2 ~_k» 
2 u ’ 
ov 
dy " r dx 
Substituiren wir dies in die Gleichnng 1), so wird der Ausdruck unter dem Inte 
gralzeichen : 
A* + B,* + C 2 2 
2u 
L Q4 + B L + C 2 y B t * + C\' + C 2 
2u 3A -f- 2 a fi 
oder wenn man setzt: 
A + B t + C 2 = F, AB l + B l C\ + C 2 A-B l * 
und wie oben: 
k 
C,*-C a * = G, 
1 + 
so kommt: 
2) 
3A + 2,«’ 
S(x (Uu + Vv -f- Ww) = j' (iF 2 —^ dx dy dz. 
Diese Formel enthält den Clapeyron’schen Satz. 
Statt A, B, C kann man die Hauptelasticitäten a, b, c einführen. Existirt 
nur eine solche, wirkt also nur eine Zugkraft nach irgend einer Kichtung, so ist 
b = c = G = 0, 
also die Grösse unter den Integralzeichen wird ia 2 k, wenn k das Element, und 
der ganze Ausdruck ia 2 K, wenn K das Gesammtvolum ist. Wird ferner auf den 
Körper ein constanter Druck — P ausgeübt, so sind die die drei Hauptelasticitäten 
alle gleich — P, es ist also die Arbeit der Elasticität oder die Grösse rechts in 2); 
(3,-i) № . 
oder wenn man für « seinen Werth setzt: 
. 3 
- 3A -f- 2 ( u 
KP 2 . 
3) Schwingungen einer elastischen Saite. 
Die Theorie der Schwingungen elastischer Körper ist durch die Integration 
der in Abschnitt 1) enthaltenen Gleichungen gegeben. Der einfachste Fall ist 
der der elastischen Seite. 
Setzen wir 
so sind die entsprechenden Gleichungen: 
d^U d 2 v d^u d a w .^d 2 «? 
dt 1 a TOU' HU~ * dHU’ TU ~~ ¡UU' 
Es können offenbar diese Gleichungen 
unabhängig von einander und in dersel 
ben Weise aufgelöst werden. 
Der Auflösungsmethoden gibt es zwei; 
die eine rührt von D’Alembert her, ist 
das erste Beispiel einer vollständigen 
Auflösung einer partiellen Differenzial 
gleichung mit Grenzbedingungen, die an 
dere von La Grange geschieht vermit 
telst der Trigonometrischen und Fourrier-