Schwingungen. 
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Schwingungen. 
den, die immer in Ruhe bleiben, diesel 
ben heissen Scbwingungsknoten. Nur 
der tiefste Ton (Grundton) für den s = l 
ist, hat dergleichen Schwingungsknoten 
nicht. Die Entfernung zweier Schwin 
gungsknoten eines beliebigen Tones ist, 
vielleicht zu sehen, gleich der Lange — 
s 
einer Saite, welche den entsprechenden 
Ton als Grundton hat. Die Erfahrung 
hat diese Sätze völlig bestätigt. Noch 
bemerken wir, da gegeben war: 
oder da das Gewicht der Saite p—gqul 
war, 
dass das Quadrat der Schwingungsdauer 
dem spannenden Gewicht direct und der 
Dichtigkeit und dem Querschnitte der 
Saite umgekehrt proportional ist. 
Was die Longitudinal - Schwingungen 
anbetrifft, so sind die Gesetze derselben 
ganz wie die obigen zu bestimmen, da 
nur h mit a vertauscht werden muss. 
Es war aber; 
Die Schwingungszeiten verschiedener 
Saiten verhalten sich also hier direct, 
wie die Wurzeln der Saitenlängen. 
Das Verhältniss der Schwingungszeiten 
für die Grundtöne der transversalen und 
longitudinalen Schwingungen derselben 
Saite ist: 
4) Schwingungen elastischer 
Platten. 
Es handelt sich jetzt um die Integra 
tion der Gleichung: 
d 2 w „ /d 2 tc <5 2 jp\ 
^ di 2 ~ ° VLk 2 + dT/V 
Was die Grenzbedingungen anbetrifft, 
so ist; w~ 0 auf der ganzen Begrenzung. 
Wir nehmen an, dass diese ein Recht 
eck sei, und eine Ecke desselben An 
fangspunkt der Coordinaten l und 1' die 
Länge der Seiten, welche bezüglich den 
Axen x und y entsprechen, dann ist: 
2) 
ferner soll sein: 
3) 
w = 0 für x — 0, x ~ l und für y - 0, y = V; 
w = f(x, y), = F (x, y) für t = 0 
da der Anfangszustand beliebig ist. 
Die Bedingungen 1) und 2) werden erfüllt durch den Ausdruck: 
j\ / tt • v , 71X , 7i7/ 
4) tc — 22 (H cos yt -f- K sin yt) sm s — sin n 
wo die Summe sich über alle ganzen Werthe von n und s erstreckt, und y die 
Gleichung erfüllt: 
5) 
y — cn 
/ 
s 2 n 2 
7» + ln ’ 
um die Bedingungen 3) zu erfüllen, muss man haben: 
22H sin sin — f(x, y) 
rr . snx . nny . 
22yK sm —— sin = F («, y) 
und die Theorie der Fourrier’schen Reihen gibt: 
Die Form der Reihe 4) zeigt, dass der Töne, welche von den Schwingungen 
der Platte erzeugt werden können, unendlich viel sind. Jedoch steht die Schwin-