Schwingungen. 
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Schwingungen. 
dM 
d'w . dM 
^. + 2" 
*=&)'+(:i)’ + (^) : 
zu setzen ist. 
Setzt man diese Werthc in die Be 
wegungsgleichungen A), multiplicirt die 
selben bezüglich mit dx, dy, dz und ad- 
dirt sie, so kommt: 
Die Grösse 7. bezeichnet Helmholz als 
Geschwindigkeitspotenzial. 
Die Umstände, unter welchen ein 
Geschwindigkeitspotenzial vorhanden ist, 
lassen sich leicht übersehen. 
Finde ein solches zu irgend einer Zeit l 
statt, so nehmen im nächsten Zeittheil- 
chen * + s die Grössen u, v, w die Ge 
stalt an: 
du du 
” + *äV '= , ’ + 's? 
OID 
ic — w 4- f t—. 
' dt 
Da nun zur Zeit f die Gleichung 1) 
gelten muss, und man ausserdem hat: 
, dtp ou 7 ou 01 c , 
d-r- = xr dx + -r- dy -f -r- dz, 
dt dt dt * dt 
digkeiten u, v, w die Differenzialquo 
tienten einer Function 7 nach x, y, z, 
so sind sie dies zu jeder Zeit.“ 
Dies findet z. B. statt, wenn im An 
fänge die Geschwindigkeit Null, also 
u — c — w — 0 ist. 
Die Gleichung 1) ist aber nicht zur 
Bestimmung der Bewegung flüssiger Kör 
per ausreichend. 
Um eine zweite Gleichung zu haben, 
betrachten wir die Dichtigkeitsänderung 
in einem elementaren Parallelepipedon, 
dessen Seiten bezüglich gleich dx, dy, dz 
sind. 
In einem Zeittheile dt werden die ein 
zelnen Massenelemente sich parallel der 
Axe der x um die Grösse udt heben, 
und somit durch die untere Grundfläche 
dy dz, (judt dy dz solcher Elemente in 
das Parallelepipedon eintreten und eine 
Vermehrung der darin enthaltenen Masse 
von dieser Grösse erfolgen, dagegen 
treten durch die obere Grundfläche dy dz: 
OQU 
Qudt dy dz + -jj— dx dl dy dz 
Theilchen aus dem Parallelepipedon her' 
aus, es resultirt also die Vermehrung 
— dt dx dy dz. 
dx J 
Die entsprechenden Grössen für die an 
deren Grenzflächen ergeben sich ebenso: 
so ist: 
(du du . dw \ 
■\r t dx+ d~t dy + Ji dz ) 
dp 
UM+dF. 
Es ist also die Grösse links ein voll 
ständiges Differenzial einer Function von 
x, y, z, wenn wie die hei den luftförmi 
gen ebenso wie hei den unzusammen- 
drückbaren Flüsigkeiten der Fall ist, p 
eine Function von p ist. Da nun auch 
zu der betrachteten Zeit 
udx -f- vdy + ic dz 
ein vollständiges Differenzial war, so ist 
dies auch mit 
u'dx -f- v'dy -j- w r dz 
der Fall, also es gibt auch im nächsten 
Momente ein Geschwindigkeitspotenzial, 
und aus eben dem Grunde für den fol 
genden und allgemein für jede Zeit. 
Dies ist ein wichtiger Satz, von dem 
Lagrange der Urheber ist. Er lautet: 
„Sind zu irgend einer Zeit, also etwa 
im Anfänge der Bewegung die Geschwin- 
dpv 
dt dx dy dz, 
dy 
- dt dx dy dz. 
Dividirt man alle drei durch dx dy dz, 
so ist die Summe die Verdichtung des 
Parallelepipedons in der Zeit dt, und 
diese Grösse ergibt sich direct gleich: 
— dt, so dass man hat: 
d t 
dg dQu + djw + ^f_ 0 
' dt' dx dy dz 
Es bleibt noch übrig, die Beziehung 
zwischen p und p zu finden. 
Wir haben es hier mit einem luftför- 
migen Körper zu thun. Das Mariotte’- 
sche Gesetz würde gehen p = hg, wenn 
bei der Verdichtung keine Wärmeände 
rung entstände. Diese aber ist hier in 
Betracht zu ziehen. 
Sei zunächst das Gas im Gleichge 
wicht und von constanter Temperatur #, 
p 0 seine constante Dichtigkeit, p 0 seine 
elastische Kraft, so ist, wenn man die 
Dichtigkeit des Quecksilbers als Einheit