Schwingungen. 
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Schwingungen. 
tives x geben, gilt diese Gleichung hier 
für negatives x ; offenbar hat man nämlich : 
c) F '(- X )=-f'(x), 
f {— x)~ — F'(x). 
Wollte man die Werthe von u und y 
ermitteln, welche vermöge dieser Formeln 
in den Punkten in der nach der andern 
Seite der festen Wand verlängert gedach 
ten Eöhre sieh ergeben, so würde mittels 
der Formel c) folgen, dass zwei Schnitte, 
welche gleich weit von der Wand ent 
fernt sind, gleiche Verdichtungen und 
gleiche aber entgegengesetzte Geschwin 
digkeiten zu jeder Zeit haben. Nimmt 
man dies an, so kann man sich die 
Röhre nach beiden Seiten unendlich 
denken. 
Erstreckt sich also die anfängliche 
Erschütterung nur auf einen Theil der 
Röhre zwischen den Ahscissen a und 
a + /, so wird man eine gleiche aber 
entgegengesetzte Erschütterung zwischen 
den Abscissen — a und — a— l sich zu 
denken haben, von jedem dieser Räume 
gehen, wie oben gezeigt zwei Wellen 
mit den Geschwindigkeiten + l und — l 
aus und aus diesen vier Wellen setzt 
sich die Bewegung in der Röhre zu 
sammen. 
C) Die Röhre gehe nach einer Seite 
hin ins Unendliche, nach der andern 
ende sie, sei aber offen. 
Da am offenen Ende die in der Röhre 
befindliche Luft mit der äusseren in Be 
rührung steht, so wird daselbst jede er 
folgende Verdichtung sich wieder aus- 
gleichen. Statt der Gleichung 3) bat 
man also die folgende: 
4) ^ = 0 für x ~ 0. 
Die Grössen rp und % sind wieder für 
negatives x willkürlich. 
Der allgemeine Werth von y gibt 
aber wegen Gleichung 4) jetzt: 
F' (at) = f f (- at), 
d) also: F' (— x) = f f (x), 
/”(-») =**(*), 
wodurch die Functionen auch für nega 
tives x bestimmt sind, also u und y 
immer bekannt ist. 
Aus dem Vergleiche mit dem Falle A) 
folgt hieraus, dass man sich die Röhre 
nach beiden Seiten unendlich denken 
kann, wenn man den Anfangszustand 
so bestimmt, dass in den beiden Punk 
ten vom Anfangspunkte sich die Luft 
gleich weit entfernt, mit derselben Ge 
schwindigkeit bewegt, aber so, dass einer 
Verdichtung y in dem einen Punkte, 
eine gleiche Verdünnung — y im andern 
entspricht. Es setzt sich dann die Be 
wegung wieder aus vier Wellen zusam 
men, von denen je zwei im Anfangs 
punkte sich immer derart ausgleichen, 
dass die Verdichtung Null ist 
D) Die Röhre sei nach beiden Rich 
tungen begrenzt und geschlossen. 
Die Grenzbedingungen sind in diesem 
Falle, wenn l die Länge der Röhre ist: 
5(i 
t- = 0, für x = 0 und x — l, 
ox 
5ft) 5(t. 
iTx ~ Tt~~ ai xi x ) für 1 = o. 
Die Aufgabe lässt sich leicht auf die 
in Abschnitt 3) des vorigen Artikels 
zurückführen. 
Man hat, wie leicht zu sehen, die Glei 
chungen : 
F'{x)+f'{-x) = 0, 
F'(l + x)+f' (l-x) = 0 
für beliebiges x, 
F , {x) + f{x) = xp(x), 
-F'(x) + f'{x) = ay(x), 
so lange x zwischen Null und l liegt. 
Es folgt leicht, dass F' und f' die Pe 
riode 21 haben; u und y, die sich durch 
die Gleichungen: 
m = F’ {x + «0 4- f' {x — at) 
ay = — F' (x + at) f {x — at) 
21 
ergeben, haben die Periode —. Wendet 
a 
man die Fourrier’schen Reihen an, so ist: