Schwingungen. 493 Schwingungen,
wo der Kürze wegen gesetzt ist:
u — x + ai cos .9, v = y + at sin ¡9 cos rp, w ~ s + at sin ,9 sin xp.
Dies von Poisson herrührendc Resultat ist abgeleitet in Abschnitt 20' des
Artikels: Quadraturen — Zurückführung der partiellen Differenzialgleichungen auf—).
Statt dessen kann man auch schreiben:
1 Z 1
if = — I td(oF{x aat, y + aßt, z -f- ayt)
\ d f*
+ — j td(t)f{x -|- aat, y + aßt, z + ayt,
wo dm das Element einer mit Radius l
vom Anfangspunkte aus beschriebenen
Kugelfläche, a, ß, A die Cosinus der
Winkel sind, welche der durch dies
Element gehende Kugelradius mit den
Axen macht.
Ist der Raum begrenzt, so wird ganz
wie bei den festen elastischen Körpern,
die Aufgabe weit schwieriger, indem von
der Begrenzung aus die Wellenbewe
gungen reflectirt werden, und dadurch
sehr verwickelte Erscheinungen entste
hen können. — Nehmen wir jetzt an,
dass die Anfangserschütterung nur in
einem nach allen Richtungen unendlich
kleinen Theile des Raumes stattfinde,
dann ist überall ausserhalb dieses Theiles
f(x, y, z) = F (x, y, s) = 0.
Wir nehmen an, der Anfangspunkt der
Coordinaten befände sich in dem anfäng
lich erschütterten Raume, so wird, damit
eine Erschütterung zur Zeit t erfolge,
sein müssen:
x — — ata, y — — alß, z~— aty
x 2 + H 2 + 2,2 — a 2 l 2 ,
also die Erschütterung findet zur Zeit t
auf der Oberfläche einer Kugel statt,
deren Radius at ist. Die Fortpflanzungs
geschwindigkeit dieser Erschütterung ist
also gleich a, ganz wie in einer Röhre,
und sie verbreitet sich nach allen Rich
tungen gleichmässig.
Die Gleichungen für die Schwingungen
luftförmiger Körper sind in neuerer Zeit
Gegenstand tief eingehender Untersu
chungen gewesen. Namentlich muss er
wähnt werden die schöne Arbeit von
Riemann, worin er statt von den hier
entwickelten abgekürzten Gleichungen,
von den allgemeinen Hydrodynamischen,
Abschnitt 1) (1 und 2) ausgeht. Helm
holz hat die Theorie der Schwingungen
der Luft in einer offenen Röhre unter
der Voraussetzung behandelt, dass nicht,
wie hier angenommen, am offenen Ende
keine Verdichtung eintrete. Diese Be
dingung findet sich in der Natur nämlich
nur annäherungsweise erfüllt, da aller
dings, wenn die Luft in der Röhre in
Ruhe wäre, eine solche Ausgleichung
erfolgen müsste bei schnellen, nament
lich schwingenden Bewegungen dieselbe
aber nicht vollständig eintreten kann, da
sich der Zustand der Luft am offenen
Ende fortwährend ändert.
Schwingungen des Aethers.
Da das Licht sein Entstehen den
Schwingungen eines elastischen Mediums,
des Aethers verdankt, so muss es mög
lich sein, aus den Grundgleichungen der
Elasticität die Gesetze der Bewegung
des Lichtes herzulciten. Fresnel hat es
zuerst unternommen, aus bekannten
elementaren Eigenschaften des Lichtes
die Gleichungen für die Bewegung des
Aethers abzuleiten. Aus diesen hat er
dann die Gesetze der Fortpflanzung des
Lichtes in ein- und zweiaxigen Mitteln,
die Gleichung der Wellenfläche u. s. w.
abgeleitet. Indess gelang es nicht, auch
aus diesen Gleichungen die Gesetze der
Farbenzerstreuung zu ermitteln. Der
Grund ist der, dass die Gleichungen der
Elasticität unter der nur annäherungs
weise richtigen Voraussetzung gebildet
worden sind, dass gewisse Coefficienten
constant sind (vergleiche den Artikel;
Schwingungen elastischer Körper). Erst
Cauchy, der diese Voraussetzung aufgab,
fand auf diesem Wege die Gesetze der
Farbenzerstreuung (théorie de la disper
sión de Inmiere). Da die allgemeineren
Cauchy’schen Gleichungen auch die übri
gen von Fresnel gefundenen Resultate
geben, so werden wir an einer anderen
Stelle, in dem Artikel: „Licht“ diesen
Gegenstand behandeln.
Eine sehr elegante Entwickelung zur
Herleitung der Gesetze des Lichtes, so
weit sie Fresnel gefunden, gibt auch
Lame.
Da seine Gleichungen öfter gebraucht
werden, so wollen wir sie hier entwickeln.
Der Umstand, dass zwei auf einander
senkrecht polarisirte Lichtstrahlen nicht
zu Interferenzerscheinungen führen, kann
nur erklärt werden, wenn man annimmt,
dass die Schwingungen des Aethers,
