Stabilität. 
531 
Stabilität. 
so ergibt sich: 
^Imv* = c — (s a -f s, J -{-s 2 a 4-...) + R, 
wo c der Annahme nach eine jedenfalls 
sehr kleine Grösse ist. 
Zwischen den Grössen s, ... 
finden Beziehungen statt, welche sich 
aus den Verbindungen der Punkte des 
Systems ergeben, aber diese Beziehungen 
geben jedenfalls Gleichungen von der 
Gestalt: 
Adx-\-Bdy -f- Cdz-\-Edx v = 0. 
Aus diesem folgt, dass wenn die Ver 
schiebungen dx, dy . . . sehr klein sind, 
dies auch mit s, s, ... stattfindet und 
umgekehrt. Letzteres aber lässt sich 
leicht beweisen. 2mv % ist nämlich stets 
positiv, ebenso C, wenn man das ver 
schwindende p vernachlässigt, es muss 
aber, da R gegen s + s, * -f- s 3 1 ... ver 
schwindet, diese Summe kleiner als c, 
und folglich s, s t ... sehr klein sein. 
Das Gleiche also findet zu jeder Zeit mit 
den Verrückungen dx, dy, dz statt. 
Wohl zu merken aber ist, dass keines 
wegs, wenn y ein Minimum sein sollte, 
deshalb die Bewegung eine labile sein 
muss. 
Der einfachste Fall ist der, dass auf 
einen Körper die Schwere allein wirkt. 
Nimmt man die Axe der x in der Rich 
tung dieser Kraft, so erhält man: 
'/ = 
wenn M die Masse des Körpers, x 0 die 
Abscisse seines Schwerpunktes ist. Im 
Falle des stabilen Gleichgewichts, muss 
also x 0 ein Maximum sein, d. h. der 
Schwerpunkt sich so tief als möglich be 
finden. Dies ist auch selbstverständlich, 
da die Schwere den Schwerpunkt des 
Körpers zu senken strebt. Wirklich 
kommt der Kettenlinie die Eigenschaft 
des tiefsten Schwerpunktes zu (vgl. den 
Artikel: Seilcurve). 
In diesem Falle ist es auch klar, dass, 
wenn der Schwerpunkt eines Körpers 
sich in der grössten Höhe befindet, das 
Gleichgewicht nur ein labiles sein kann. 
2) Von der Stabilität fester 
Körper auf horizontaler und 
schiefer Unterlage. 
Ein Körper, der auf einer horizontalen 
Grundlage steht, und auf den nur die 
Schwere wirkt, ist in Ruhe, wenn die 
durch seinen Schwerpunkt gezogene Ver 
tikale durch die Unterlage geht, da dann 
der Druck derselben der Schwere das 
Gleichgewicht hält. Dreht man den Kör 
per ein wenig um eine Kante, so wird 
er zur Ruhe sogleich wieder gelangen, 
wenn die neue Lage des Schwerpunkts 
sich noch immer über der früheren Un 
terlage befindet, denn dann tritt nur eine 
kleine Drehung um die Kante ein, die 
den Körper in die alte Lage bringt. Es 
kommt also dem Körper eine gewisse 
Stabilität zu, und diese wird so lange 
stattfinden, als die Drehung nicht so 
gross wird, dass der Schwerpunkt nicht 
mehr über der alten Unterlage sich be 
findet. Man kann also von einem Maasse 
der Stabilität sprechen, und diese wird 
für drehende Bewegungen grösser sein, 
für grössere Unterlagen, d. h, Grund 
flächen des Körpers als für kleinere. 
Die Stabilität ist Null, wenn der Körper 
nur auf einer Kante ruht, da dann bei 
jeder Drehung um dieselbe der Schwer 
punkt nicht mehr über der Kante sich 
befinden kann. 
Finde (Fig. 404) eine Drehung um 
Kante C statt, erregt durch eine Kraft P 
Fig. 404. 
in Richtung EP, sei CE — a senkrecht 
auf P, und CN = e die Entfernung der 
Kante, von der durch den Schwerpunkt ge 
henden Vertikalen, auf welcher das Ge 
wicht wirkt. Im Falle des Gleichgewichts 
muss also sein : Pa = Ge. Ist Pa grösser 
als Ge so findet eine Drehung statt, die 
den Körper aus seiner anfänglichen Lage 
entfernt, ist Pa < Ge so wird er der 
alten Lage wieder zugeführt. Man kann 
also Ge als Maass der Stabilität bei 
einer Drehung um die Kante C betrach 
ten, und dieses Maass ist folglich das 
Product des Gewichtes in die Entfernung 
zwischen C und der durch den Schwer 
punkt gehenden Vertikalen. 
Zuweilen aber nimmt man als Maass der 
Stabilität die zum Umstürzen des Kör 
pers nöthige Arbeitsgrösse, d. h. das 
Gewicht des Körpers multiplicirt mit der 
Vertikalprojection S t N des Bogens SS L , 
den der Schwerpunkt S zu machen hat, 
um sich senkrecht über der Kante C zu 
befinden, wo der Körper aufhört in sta 
bilem Zustande zu sein. Sei (Fig. 405) 
CS=CS t = r, CM=NS = e, CN = MS = a, 
so ist: 
S V N = s = (r — a) = -f- c l — a. 
34*