Statik. 
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Statik. 
dabei unwesentlich, dass diese drei Linien 
durch einen Punkt gehen, und recht 
winklig auf einander stehen. Nur dürfen, 
um die dritte Gleichung nicht identisch 
zu machen, nicht alle drei Linien in 
einer Ebene liegen. — Unwesentlich ist 
es ferner, dass die rechtwinkligen Pro- 
jectionen genommen sind, da wenn man 
beliebige Projectionen nimmt, d. h. durch 
die Endpunkte jeder Kraft, oder durch 
die Eckpunkte des Vielecks Ebenen legt, 
die alle einer gegebenen parallel sind, 
die Summe der von einer Linie durch 
diese Ebenen ahgeschnittenen Stücke zu 
sammen der Null gleich sind. — Es ist 
jedoch unnothig, hierfür die complicirtercn 
analytischen Ausdrücke zu gewinnen, 
wenn gleich diese Betrachtungen oft für 
statische Betrachtungen wichtig sind. 
Liegen alle Kräfte in einer Ebene, so 
kann diese als Ebene der XY betrachtet 
werden, mache dann die Kraft P mit 
s 
der Axe der X den Winkel ,9 , so ist: 
s’ 
« = cos .9 , ß — sin <9 , y r= 0 
s s’ s' 's 
die Gleichungen 1) haben also die Ge 
stalt : 
la) X = P cos .9 , Y = P sin ,9 
' s s s s s 
und von den Gleichungen 2) fällt die 
dritte als identisch aus. 
Denkt man sich von einem beliebigen 
Punkte in der Ebene 0 Lothe p 2 .., 
bezüglich auf die Richtung der Kräfte 
P u P 2 . .. gefällt, und nimmt man die 
Richtung A als Axe der X, setzt die 
Strecke OA — q, so ist offenbar: 
p s =: 9 sin,9 s . 
Es ist aber hierbei darauf zu achten, ob 
man die Linie q in dem einen oder an 
dern Sinne drehen müsste, um sie in die 
Richtung, P^ zu bringen, denn je nach 
dem dies geschieht ist .9^, also auch 
sin und p positiv oder negativ zu 
nehmen. 
Die zweite Gleichung la) wird nun: 
Y q~ P p 
und die zweite Gleichung 2) also: 
J(P P ) = 0. 
Den Ausdruck P p nennt man stati- 
s‘ s 
sches Moment der Kraft P in Bezug 
s 
auf Punkt O. p heisst der Arm des 
r s 
Momentes. Damit also Kräfte, die in 
einer Ebene liegen und einen Punkt an 
greifen einander in Gleichgewicht halten, 
ist es nothwendig und ausreichend, dass 
die statischen Momente in Bezug auf 
zwei Punkte in der Ebene der Null 
gleich sein. 
Seien jetzt P t , P 2 , . . . P beliebige 
Kräfte, die einen Punkt A angreifen. 
Es soll deren Mittelkraft gefunden wer 
den. Sei letztere gleich Q, so müssen 
dann die Kräfte: 
P,, P. . . . P und — 0 
das Gleichgewicht halten. Die Gleichun 
gen 2) bestimmen die Seitenkräfte von 
Pi, P 2 . . . P . Seien noch i, p, v die 
Cosinus der Winkel, welche Q mit den 
Axen macht, und sind dann U, V, W 
die Seitenkräfte von Q nach den Coor- 
dinatenaxen, so ist also auch: 
3) U = Ql, V = Q/u, W=Qy 
und die Gleichungen 2) nehmen die Ge 
stalt an, wenn man — 17, — V, — W 
berücksichtigt: 
U = XX, V=2Y, W = 2Z, 
oder ; 
4) QX = XX, Qp, = XT, Qy = XZ. 
Diese Gleichungen in Verbindung mit 
X 1 + ^ + v 2 = 1 
bestimmen die Grösse und Richtung der 
Kräfte Q. 
Erhebt man nämlich die Gleichungen 3) 
ins Quadrat und addirt sie, so kommt: 
5) (D = (XX) a +(XF) a +(XZ)«, 
die Gleichungen 4) geben aber, wenn Q 
bekannt ist, ü, ¡u und v. 
Setzen wir in Gleichung 5) für X, Y, 
7j noch die Werthe ein, so ist: 
(? s = (XP f « 4 )» + (2P s ß $ ) a + (2P s Y s )*, 
wo der Grösse s die ganzen Werthe von 
1 bis n zu geben sind. Man hat offen 
bar also ; 
+ y,r,)< 
wo in der zweiten Summe für s und t 
alle Combinationen zu zweien der Zahlen 
1 bis n zu nehmen sind, die gleichen 
ausgeschlossen. 
Ist aber t . der Winkel, welchen die 
s, l ’ 
Kräfte P und P. mit einander machen, 
s t 
so hat man bekanntlich: 
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