Statik. 
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Statik. 
„Ein Paar, welches auf irgend einen 
Körper wirkt, lässt sich ersetzen durch 
jedes andere, dass mit ihm gleiches Mo 
ment hat, und dessen Axe der seinen 
parallel ist.“ 
Denke man sich jetzt mehrere Paare 
Rv, R.r,, . . ., 
welche die Winkel mit Cosinus: 
m 2 , n 3 . . . 
mit den Axen machen. Bilden die Axen 
dieser Paare in dem oben genommenen 
Sinne ein geschlossenes Vieleck, so ist: 
Rrl = R l r l l i + R. 2 r a l a +. . . 
Rrm — R l r l m t -f- ß 2 r 2 m 2 + . . . 
Rrn =R l r l n l -j-R. 2 r 3 n 3 +. . . 
d. h. in den Gleichungen 4) können statt 
des Paares Rr auch sämmtlichc Paare 
ß l r l , . , . R 2 r 3 genommen werden. 
Also: 
„Beliebige Paare lassen sich in ein 
ziges (mittleres Paar) vereinen; zu dem 
Ende braucht man nur die Axe jedes 
derselben an den Endpunkt der Axe des 
vorhergehenden anzubringen und die ent 
stehende Eigur zum vollständigen Viel 
eck zu ergänzen, ganz wie dies bei 
Kräften, die auf einen Punkt wirkten, 
stattfinden. D. h.: 
„Paare lassen sich in ein einziges (mitt 
leres Paar) vereinen, wenn man ihre 
Axen zunächst wie Kräfte betrachtet, 
die irgend einen Punkt angreifen, aus 
ihnen die Mittelkraft bildet, und diese 
als Axe des mittleren Paares betrachtet, 
welche also der Richtung nach das letz 
tere und der Länge nach sein Moment 
bestimmt.“ 
Bei zwei Paaren folgt der Satz: 
„Die Resultante zweier Paare ist ein 
drittes, dessen Axe der Länge und Lage 
nach durch die Diagonale des aus bei 
den Axen gebildeten Parallelogramms 
repräsentirt wird.“ 
Dies ist der Satz vom Parallelogramm 
der Paare. 
Die Gleichungen 2) und 2b) drücken 
nun aus, (wenn man sich statt 
R v r v R 2 r. 2 . . . Pjpn P 3 p 2 . . . 
gesetzt denkt), dass das aus sämmtlichcn 
Paaren gebildete mittlere Rr der Null 
gleich ist, wenn Gleichgewicht stattfinden 
soll. Die Gleichungen 1) und 2) haben 
also jetzt folgende Bedeutung: 
„Wenn man das System der Kräfte P 
durch einen beliebigen Punkt O legt, 
und die dazu gehörigen Paare nimmt, 
so sind im Falle des Gleichgewichts die 
Resultante aller Kräfte, die durch O ge 
hen, und die Resultante der Paare ein 
zeln der Null gleich.“ 
Wenn man den Vereinigungspunkt der 
Kräfte 0 verlegt, so hat dies natürlich 
auf die Richtung und Grösse der Re 
sultante keinen Einfluss, wohl aber auf 
das mittlere Paar, da die Arme der ein 
zelnen Paare sich ändern. 
Sei jetzt 01 der Punkt in welchem 
alle Kräfte vereint werden. Betrachten 
wir O v als Anfangspunkt neuer Coor- 
dinaten x', y’, z', welche den alten pa 
rallel sind, und seien |, y, £ die Coor- 
dinaten von O i selbst auf 0 bezogen, 
so ist: 
x' = x — £, y'-y — y, *' = * — £. 
Die erste Gleichung 4) gebe nun, wenn 
man 0, als Anfangspunkt nimmt, Pp 
als Moment des neuen mittleren Paares 
betrachtet, dessen Axe Winkel mit den 
Coordinatenaxen machen soll, deren Co 
sinus l l9 m l , n, sind : 
Z[X(y-y)- F(»-f)]=iW 
Der Ausdruck links aber nimmt die 
Form an: 
2{Xy- Yx)-y2X + tlY, 
d h., wenn man die beiden andern Glei 
chungen 4) in derselben Weise behan 
delt : 
5) Rrn — (ya — £6) Q — Ppn l 
Rrl — (£6 — i 2 c) Q = PpZ, 
Rrm — (|c — La) Q = Pom r 
Diese Gleichungen bestimmen das neue 
mittlere Paar völlig aus dem alten, wenn 
der Angriffspunkt verlegt wird, und die 
Coordinaten £, y, £ des neuen bekannt 
sind. Multipliciren wir die drei Glei 
chungen 5) bezüglich mit c, b, a und 
addiren, so kommt: 
6) Rr(la+mh-\-nc)= Pp(Z l «-f-»t 1 A + Uic). 
Offenbar sind die Ausdrücke in den 
Klammern die Cosinus derjenigen Winkel, 
welche die mittlere Kraft mit der Axe 
des Paares macht, die Ausdrücke rechts 
und links also die Projectioncn der be 
züglichen Paaraxen auf die Richtung der 
Mittelkraft. Zerlegt man alle mittleren 
Paare, die sich bei irgend einer An 
nahme des Vereinigungspunktes ergeben, 
also nach dem Parallelogramm der Paare 
in je zwei, deren Axen bezüglich auf 
der Mittelkraft senkrecht und derselben 
parallel sind, so sagt die Gleichung 6) : 
„dass die ersteren Componenten verän 
derlich , die zweiten bei allen gleich 
sind.“