k. 
etrachtungen, dass 
angenommene un- 
unveränderlich ist. 
iten eines solchen, 
schlossene Winkel, 
und 9 constant. 
tionen zweier Va- 
eben, so hat man 
= «“■*). 
öz 2 . 
äii = *(•■•) 
z dz 
- — = q («, v), 
u ox 
rp(u,v) gegebene 
1 v sind. 
i Elimination von 
h drei Gleichungen 
immung des Gleich- 
die Gleichungen 4) 
multipliciren und 
chtigung von 2) er- 
ßY + yZ) = 0, 
:0. 
und nur von der 
ist dann « und p 
geben dann: 
ch aus der ersten 
i beliebige Function 
Statik. 
hA 
kB — 
561 
Statik. 
dx dy ’ 
und die Gleichung 6) nimmt die Gestalt an: 
d 3 W d 2 z <)*z d 2 W , ö 2 W d ! z 
kB. = 
d*W 
dx 2 
oif 
2 - , 
dx' 1 dx dy dx dy 
+ 
dx' 2 
°2/ s 
+ Q h 9 = 0. 
Indess ist diese vollständige Integration 
selbst dieser verbältnissmässig einfachen 
Aufgabe nicht zu bewerkstelligen. 
8) Statik der flüssigen Körper. 
Flüssigkeiten müssen als eine Reihe 
lose an einander liegender Punkte oder 
unendlich kleiner Körper betrachtet wer 
den, deren Einwirkung auf einander nur in 
ihrer Undurchdringlichkeit besteht. Aus 
dieser Anschauung folgen sogleich die 
Gleichgewichtsgleichungcn. 
Möge in irgend einem Punkte die 
Flüssigkeit von der Dichtigkeit p und 
von Kräften angegriffen sein, die auf 
die Raumeinheit reducirt die Componenten 
X, F, Z haben. 
Betrachten wir ein rechtwinkliges Pa- 
rallelepipedon, dessen Seiten unendlich 
klein und den Axen parallel sind, somit 
bezüglich die Länge dx, dy, dz haben, 
so ist die Summe der der Axe der X 
parallelen Componenten: 
qX dx dy dz. 
Ausserdem wirken die Spannungen von 
Punkt zu Punkt, aus den betreffenden 
Summen fallen aber die innerhalb der 
Punkte des Parallelepipedons selbst wir 
kenden ganz weg, wegen der Gleichheit 
der Wirkungen und Gegenwirkungen. 
Es bleiben also nur die für die Grenz 
flächen, welche, nach dem oben Gesag 
ten senkrecht auf diesen Flächen sind. 
Ist also die auf die Flächeneinheit sich 
erstreckende Spannung für die eine Grenz 
fläche, welche auf der Axe der X senk 
recht ist, gleich — p, somit die auf der 
parallelen Grenzfläche, welche offenbar 
entgegengesetzt gerichtet ist: 
dp 
+ P+^d x , 
so sind die Ausdrücke mit dem Inhalt 
der Grenzfläche dydz zu multipliciren, 
um die Summe aller Spannungen zu ha 
ben. Sind noch q und r die Spannun 
gen für die eine Grenzfläche, welche 
den Axen der Y und Z senkrecht ist, 
so hat man im Falle des Gleichgewichts, 
wenn man die Summen der gleichgerich 
teten Componenten gleich Null setzt. 
**==£' «■=“* 
Es lässt sich indess nicht der ganze 
von Flüssigkeit erfüllte Raum immer in 
Parallelepipeda wohl aber stets in drei 
seitige i J y ramiden zerlegen, von denen 
drei Seiten den Axen parallel sind. 
Seien wieder dx, dy, dz die Längen 
dieser Seiten, so sind die Inhalte der 
entsprechenden drei Grenzflächen bezüg- 
, dydz dz dy dx dy 
lieh gleich also die 
u u u 
Spannungssummen, welche auf dieselben 
wirken bezüglich: 
V 
dydz 
dz dx 
^2 ’ 
dx dy 
— 2"' 
Die vierte Grenzfläche habe* den Flä 
cheninhalt F und möge ihre Normale, 
Winkel mit den Axen machen, deren 
Cosinus bezüglich X, p, v sind, so ist: 
dy dz „ dz dx ,, dx dy 
n = \, = = 
Sei noch — s die auf die Einheit be 
zogene, senkrecht auf diese Fläche wir 
kende Spannung, so sind die Componenten 
derselben bezüglich gleich: 
— sA, — sp, — su, 
also die Summe aller Spannungscompo- 
nenten für die ganze Fläche bezüglich: 
dy dz 
~2~’ 
FsA — 
Fs,u = — 
— Fsv — 
dz dx 
' ~~2 ’ 
dx dy 
dz 
Auf die Pyramide wirken nun die 
Kräfte X, F, Z noch, und deren Sum 
men für die ganze Pyramide werden: 
dx dy dz v dx dy dz r . dx dy dz 
X 3 , > — 3 — 1 z ~3— ’ 
also unendlich klein dritter Ordnung, 
während die Spannungssummen nur un 
endlich klein zweiter Ordnung sind. 
Aus den betreffenden Gleichgewichts 
gleichungcn fallen also die Kräfte X, 
Y, Z ganz weg, und man hat: 
p — s = 0, q — s ~ 0, r — s = 0, 
woraus sich die wichtige Beziehung 
ergibt. 
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